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课件网) 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的 坐标表示 [目标导航] 课标要求 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念,区分点的坐标与向量的坐标. 素养达成 通过对平面向量正交分解、坐标表示、加法、减法、数乘坐标运算的学习,提高学生数学运算的核心素养. 1 新知导学 素养启迪 1.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量. (2)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底. (3)坐标:对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标. (4)坐标表示:a=(x,y). (5)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 思考1:向量的坐标是否就是向量终点的坐标 答案:不是,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于向量终点的坐标. 2.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表 项目 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a+b=(x1+x2,y1+y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a-b=(x1-x2,y1-y2) 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa=(λx1,λy1) (x2-x1,y2-y1) 3.平面向量共线的坐标表示 (1)条件:a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0. (2)结论:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线. 思考2:要证明三点共线,是否可以利用平面向量共线证明 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据. 2 课堂探究 素养培育 题型一 平面向量的坐标表示 (2)若A,B,C三点共线,求点C的坐标. 求点或向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. (2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. (2)求点B的坐标. 题型二 平面向量的坐标运算 解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)= (6,-42). (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. √ √ 题型三 向量共线的判定及应用 向量共线的判定方法 √ (1)解析:由a∥b可得4m-2×2=0,m=1.故选D. √ √ √ 解析:选项A中,3×4-(-2)×6≠0,则a与b不共线;同理, B,C中的两向量不共线;选项D中,2×6-(-3)×(-4)=0,则有a∥b.故选D. √ 5.与向量a=(-3,4)平行的单位向量是 . ... ...
