2024年茂名市高三年级第二次综合测试 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 与向量方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，且，则的值是（ ） A. 11 B. 50 C. 55 D. 60 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知变量和的统计数据如表： 1 2 3 4 5 6 6 7 8 8 根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（ ） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 6. 已知抛物线的焦点为的准线与轴的交点为，点是上一点，且点在第一象限，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 若为上的偶函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 8. 已知，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，若，则实数的取值可以是 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知双曲线，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与仅有一个公共点 B. 若，则与仅有一个公共点 C. 若与有两个公共点，则 D. 若与没有公共点，则 11. 已知，其中，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是_____. 13. 在中，，点在线段上，且，则_____. 14. 如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，几何体是圆柱的一半，四边形是圆柱的轴截面，为的中点，为半圆弧上异于的一点. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 16.（15分）已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）若，求函数在区间上的最大值. 17.（15分）已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. （1）若直线的倾斜角为，求； （2）记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 18.（17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 19.（17分）有无穷多个首项均为1的等差数列，记第个等差数列的第项为，公差为. （1）若，求的值； （2）若为给定的值，且对任意有，证明：存在实数，满足，； （3）若为等比数列，证明：. 参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D D A A C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 CD ABD CD 1.【答案】C 【解析】，故选C 2.【答案】B 【解析】， ... ...
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