圆的综合 专题探究 一、技巧提炼 圆的综合题“包罗万象”，所有初中学过的几何图形、函数图像、点线图形的运动等均可以综合在内，解题时应结合各种图形的性质特征，从特殊图形入手，运用分类讨论思想、数形结合思想等思想方法解题.本讲包括以下三个方面. (一)圆与动态问题的综合 这部分主要包括：由点在圆上的运动而产生的函数图像或函数关系，由直线的运动而产生的线圆位置关系，由圆的运动而产生的线圆位置关系. 其中综合圆的各种定理(如垂径定理、圆周角定理、切线的性质及判定定理等)及中位线定理、勾股、相似等知识点. (二)圆与函数的综合 包括圆与一次函数、反比例函数、二次函数的综合. (三)辅助圆及四点共圆 “辅助圆”的方法就是根据题目中的条件，依据圆的定义构造圆，从而解决问题，通常有以下几种情况： 1.平面上有几个点到同一个点距离相等，可构造辅助圆. 2.平面上某动点到某定点的距离相等，可构造辅助圆. 3.构造三角形的外接圆解决问题. “四点共圆”在解题时应用广泛、灵活多变，甚至有时是其他方法所无法替代的，备受各级各类竞赛(或考试)命题者的青睐.下面给出几个常用的判断四点共圆的依据和方法： 1.四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 2.四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. 3.线段向同侧所张的角相等，那么角的顶点和线段的端点共圆. 4.到同一个点距离相等的四个点共圆.(注：上述定理1、2、3解题运用时需先证明) (以下附图说明辅助圆及四点共圆的部分运用) 若平面上点 A、B、C到点 E 的距离相等。即 AE=BE=CE,则A、B、C 三点在以 E为圆心、EA 为半径的圆上 若平面上 A、B、C、D 四个点 满足∠ABC=∠ADC=90°,则 A、B、C、D在以AC 中点 E 为圆心、EA 为半径的圆上(可证 EA=EB=EC=ED) 若平面上A、B、C、D 四个点 满 足∠ABC=∠ACD=90°,则 A、B、C、D在以AD 中点E 为圆心、EA长为半径的圆上(可证 EA=EB=EC=ED) 若平面上A、B、C、D四个点满足∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE,则 A、B、C、D 四个点 在 同一个圆上 若平面上A、B、C、D 四个点满足∠A=∠D 或∠B=∠C,则 A、B、C、D四个点在同一个圆上 2.如下图所示，在 中, ，以点 O为圆心，6 为半径的优弧MN分别交OA、OB 于点 M、N. (1)点 P 在右半弧上( 是锐角)，将OP 绕点O逆时针旋转 得 求证： (2)点 T 在左半弧上,若 AT 与弧相切,求点 T 到 OA 的距离. (3)设点 Q 在优弧MN 上,当 的面积最大时，直接写出 的度数. 3.如下图所示,已知⊙O的半径为6cm,射线 PM 经过点O,( ,射线 PN 与⊙O相切于点 Q. A、B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点 B 以 的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为 t秒. (1)求 PQ的长. (2)当t为何值时,直线AB 与⊙O相切 4.如下左图所示，正方形ABCD 的边长为2，点 M 是 BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与M、C重合),以 AB为直径作⊙O,过点 P 作⊙O的切线,交 AD 于点F,切点为 E. (1)求证: (2)设 ，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. (3)延长 DC、FP交于点G，连接OE 并延长交直线DC 于点 H(如下右图所示)，问是否存在点 P，使 (E、F、O与E、H、G为对应点),如果存在,试求(2)中x 和y的值,如果不存在,请说明理由. 5.如下图所示，直线 分别与y轴、x轴相交于点A、B，且. 一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8 个单位/秒的速度向 y 轴正方向运动.设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t (秒). (1)求直线 AB 的解析式. (2)如下左图所示，t为何值时，动圆与直线相切 (3)如下右图所示，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P 到动圆圆心C 的距离为s，求s与t的关系式. (4)在(3)中，动点 P ... ...
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