7.3.1离散型随机变量的均值 导学案（含解析） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.1离散型随机变量的均值 导学案 学习目标 （1）通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. （2）理解离散型随机变量均值的性质. （3）掌握两点分布的均值. （4）会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 重点难点 1．重点：离散型随机变量均值的意义、性质及应用． 2．难点：对离散型随机变量均值的意义的理解． 课前预习 自主梳理 知识点一　离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 思考　离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ 答案　（1）区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． （2）联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 知识点二　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 自主检测 1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( ) （2）随机变量的均值反映了样本的平均水平．( ) （3）若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( ) （4）若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．( ) （5）随机变量的均值与样本的平均值相同．( ) （6）离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.( ) （7）随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同.( ) （8）若X服从两点分布，则E(X)=np.( ) 2．已知随机变量的分布列为，、、，则随机变量的期望为（ ） A． B． C． D． 3．若随机变量的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则等于（ ） A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2 4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的期望为（ ） A．0.6 B．1 C．3.5 D．2 5．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征. 例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差. 本节课我们一起来认识离散型随机变量的均值. 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律，但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便．例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩（平均环数或总环数）以及稳定性．因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以 ... ...