专题04 巧用隐圆 妙解最值（原卷版+解析版）

专题04巧用隐圆妙解最值 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 中小学教育资源及组卷应用平台 模型背诵21世纪教育网(www.21cnjy.com) 隐圆一:定弦定角，隐圆正好。 AB的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。 这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。 隐圆一特殊: 若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。（可以解决动点轨迹。） 隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。(可以利用四点共圆证相似,角相等) 若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。 在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆. 隐圆二特殊. 若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。 隐圆三:对角互补，四点共圆. 若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。 隐圆三特殊: 若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。 隐圆四：定点定长，隐圆必现。 CA=CB=CP 隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。 若Q为AP的中点，当P沿⊙O 运动一周，则Q的运动轨迹为以 AO 中点M为圆心的圆。（P为“主动点”，点Q为“从动点。） 典例分析 如图1-1，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_____． 【点睛】图1-2，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹． 图1-3：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可． 实战训练 一、单选题 1．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 2．如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ） ①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：由题意知，当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值， ∴PA的最小值为，PA的最大值为， 故①②正确； 当∠OAP=90°时，根据勾股定理得：AP=， 即AP=OA，三角形PAO为等腰直角三角形， 故③正确； 作出A点轨迹圆如下： 知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，最大值为：， 故④错误， 综上所述，正确的序号为：①②③， 故选：C． 3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）． A．6 B． C．9 D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆， 当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示， 过C作CF⊥AE于F， ∵∠DAE=90°，∠BAC=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=， ∴由sin∠CAF=sin∠BAD得： ， 即， 解得：CF=， ∴此时三角形ACE的面积==6， 故选：A． 4．正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM， 则， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ... ...