第六章 计数原理总结 第三课（学案+练习）（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 第三课 汇总本章方法 扩展1：捆绑法 例1．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】36 【解析】将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的排法共有AA－AA＝36(种)． 【方法总结】把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. 【举一反三1-1】 福建省福州市第一中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题 1．某中学篮球队的5个首发队员站成一排照相，高二、高三均有2个，高一有1个，则高二和高三两个年级中仅有一个年级的队员相邻的站法种数为（ ） A．12 B．24 C．48 D．96 【举一反三1-2】 2．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法 A． B． C． D． 扩展2：插空法 例2.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 【答案】B 【解析】先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种). 故选B. 【方法总结】对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. 【举一反三2-1】 3．高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 A．1800 B．3600 C．4320 D．5040 【举一反三2-2】 4．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 . 扩展3：构造模型法 例3.贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则:①次传球之后，共有_____种可能的传球方法;②次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有_____种. 【答案】 【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后，共有种可能的传球方法; 设次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法为种. 则2，即 因为 【方法总结】构造法求数列通项： （1）为常数），构造等比数列； （2），构造等差数列 【举一反三3-1】 5．一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是 ． 扩展4：赋值法 例4.（多选题）已知（x－1）5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5，则（　　） A.a0＝－32 B.a2＝－80 C.a3＋4a4＝0 D.a0＋a1＋…＋a5＝1 【答案】ABC　 【解析】对于A，令x＝－1得（－1－1）5＝a0，即a0＝－32，故A正确. 对于D，令x＝0得（－1）5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确. 对于B，令x＋1＝y，则（x－1）5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5就变为（y－2）5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式（y－2）5展开式中y2项的系数，＝y5－k（－2）k，故a2＝（－2）3＝－80，故B正确. 对于C，a4＝（－2）1＝－10，a3＝（－2）2＝40，所以a3＋4a4＝0，故C正确. 故选ABC. 【方法总结】赋值法的应用 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可； （2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展 ... ...