第六章 计数原理总结 第二课（学案+练习）（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 第二课 提炼本章思想 题型一 分类讨论思想 例1 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 【解析】分以下两种情况讨论： ①甲排在第一位，丙排在最后一位，则乙可在中间四个位置任选一个来放置，有（种）； ②甲排在第二位，丙排在最后一位，则乙可在中间三个位置任选一个来放置，有（种）． 综上，由分类加法计数原理可知，共有（种）编排方案，故选B． 【答案】B 【方法总结】分类讨论思想是一种解题技巧，就是把一个复杂的问题，通过正确的划分，转化为若干个小问题各个击破，这是我们解决问题时最常用到的策略，相当一部分排列组合的问题需要分类讨论来求解，值得注意的是，分类时要做到明确分类标准，不重不漏． 【变式训练1-1】 1．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，则这样的三位数有 个． 【变式训练1-2】 2．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 题型二 整体思想 例2 甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【解析】由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙，丁，戊的排列共有（种）不同的排法． 由于丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3种排法．由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有（种），故选C． 【答案】C 【方法总结】有时，研究局部问题若能有意识地放大问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，从而使问题获解，这就是整体思想．本章的整体思想，就是将某些有特殊要求的元素（如相邻等）看作一个整体参与排列． 【变式训练2-1】 3．把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种. 题型三 主元思想 例3 为了支持山区教育，某中学安排六位教师到A，B，C，D四个山区支教，要求A，B两个山区各安排一位教师，C，D两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不能在一起，则不同的安排方案共有（ ）； A．180种 B．172种 C．168种 D．156种 【解析】分三种情况讨论： （1）甲、乙两位教师均没有去C，D山区，共有（种）； （2）甲、乙两位教师只有一人去C或D山区，共有（种）； （3）甲、乙两位教师分别去C或D山区，共有（种）． 故共有（种）安排方案．故选D． 【答案】D 【提醒】主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑安排，抓住主要矛盾，进而达到解题目的． 【变式训练3-1】 4．甲、乙等6个人按下列要求站成一横排，甲不站最右端，也不站最左端，则有 种不同的站法. 题型四 “正难则反”思想 例4 在新型冠状病毒肺炎疫情防控期间，某医院选派2名医生，6名护士到A，B两地参加疫情防控工作，每地1名医生，3名护士，其中甲、乙2名护士不到同一地，共有_____种选派方法． 【解析】每地1名医生，3名护士的选派方法有（种）， 甲、乙2名护士到同一地的选派方法有（种）， 则甲、乙2名护士不到同一地的选派方法有（种）． 【答案】24 【方法总结】“正难则反”思想即补集的思想，某些排列组合问题，可采用先求总的排列种数，再减去不符合要求的排列种数获得解决，这就是“正难则反”思想，有时也称逆向思维． 【变式训练4-1】 5．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A．72 B．120 C．144 D．168 题型四 数形 ... ...