中小学教育资源及组卷应用平台 备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用） 专题18 直角三角形问题 考点扫描聚焦中考 直角三角形问题近几年各地中考主要以填空题或选择题的形式考查,属于中低档题，较为简单，少数以解答题形式考查，属于中档题，难度一般；考查的内容主要有：直角三角形的性质；勾股定理及其逆定理；锐角三角函数；特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用；考查热点主要有：直角三角形的性质；勾股定理及其逆定理；锐角三角函数；解直角三角形的实际生活应用。 考点剖析典型例题 例1 （2022 岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【点拨】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可． 【解析】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°， 则∠CED＝90°﹣40°＝50°， ∵l∥AB， ∴∠1＝∠CED＝50°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 例2（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 2 ． 【答案】2． 【点拨】由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解． 【解析】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠A＝30°， ∴∠ABD＝30°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°， ∵∠C＝90°， ∴∠CBD＝30°， ∵CD＝1， ∴BD＝2CD＝2， ∴AD＝2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线，含30° 角的直角三角形的性质，求得AD＝BD是解题的关键． 例3（2023 荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝ 3 ． 【答案】3 【点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB＝2CD＝10，根据勾股定理得到BC＝＝6，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解析】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5， ∴AB＝2CD＝10， ∵∠ACB＝90°，AC＝8， ∴BC＝＝6， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 例4（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】根据勾股定理得到AC＝＝5，求得△ABC的周长＝3+4+5＝12，得到AD＝3，CD＝2，过D作DE⊥BC于E，根据相似三角形的性质得到DE＝，CE＝，根据勾股定理即可得到结论． 【解析】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5， ∴△ABC的周长＝3+4+5＝12， ∵BD平分△ABC的周长， ∴AB+AD＝BC+CD＝6， ∴AD＝3，CD＝2， 过D作DE⊥BC于E， ∴AB∥DE， ∴△CDE∽△CAB， ∴， ∴， ∴DE＝，CE＝， ∴BE＝， ∴BD＝＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 例5（2023 武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 2.7 cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【答案】2.7． 【点拨】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝2，再通过解直角三角形可求得OE的长，进而可求解． 【解析】解： ... ...
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