湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（PDF版含答案）

2023—2024 学年下学期高二期中考试 数学试题 参考答案及评分标准 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C B D A C B A A ACD BCD BCD １ １２．５x－y＝０　　　１３．２４０　　　１４．[ ,e３ ＋∞ ) １５．解:(１)展开式中含x３ 的项为: １×C３ ３ １ ２ ２ ２ ２ １４ (－３x)＋C５２x C４ (－３x)＋C５ (２x)C４(－３x)＋C３ (２x)３×１＝３２x３５ ４分 (２)①令x＝１得:３６＝a０＋a１＋a２＋a３＋ ＋a１２　① ５分 令x＝－１得:１＝a０－a１＋a２－a３＋ ＋a１２　② ６分 ①＋②得:３６＋１＝２(a０＋a２＋ ＋a１２) ７分 得:a０＋a２＋ ＋a１２＝３６５ ８分 ②等式两边分别求导得: ６(１＋x＋x２)５(２x＋１)＝a１＋２a ２２x＋３a３x ＋ ＋１２a１２x１１ １０分 令x＝１得:６×３６＝a１＋２a２＋３a３＋ ＋１２a１２ １２分 即:a１＋２a２＋３a３＋ ＋１２a１２＝４３７４ １３分 １６．解:(１)∵平面ABC⊥平面ACC１A１,BC 平面ABC, 平面ABC∩平面ACC１A１＝AC,∠ACB＝９０°, ∴BC⊥平面ACC１A１, ２分 ∵A１C 平面ACC１A１,∴BC⊥A１C, ∵BC∥B１C１,∴B１C１⊥A１C, ３分 ∵AC＝AA１,∴四边形ACC１A１ 为菱形, ∴AC１⊥A１C, ４分 ∵B１C１∩AC１＝C１,B１C１,AC１ 平面AB１C１, ∴A１C⊥平面AB１C１． ５分 又AB１ 平面AB１C１　∴A１C⊥AB１ ６分 (２) １ VA１－ABC＝VB－AA１C＝ S△ACA１ ３ h 由(１) １ ３ 知h＝BC　∴３S△ACA１×１＝３　∴S△ACA１＝ ３ １ ３∴２AC AA１sin∠A１AC＝ ３　∴sin∠A１AC＝２ 数学试题　参考答案　第　１页　共４页 ∵∠A１AC 为锐角　∴∠A１AC＝６０° ８分 取A１C１ 中点D１,则CD１⊥A１C１ 以C 为原点,以CA、CB、CD１ 分别为x 轴、y 轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示: ９分 则A(２,０,０),C１ (－１,０,３) ,B(０,１,０) A１ (１,０, → →３) 　B１C１＝BC＝(０,－１,０) CC→ →１＝AA１＝ (－１,０,３) ,设平面B１C１C 的法向量为m＝(x,y,z) ì x＝ ３ {－x＋ ３z＝０ 则 取 íy＝０ 　m＝ ( ３,０,１) １１分－y＝０ z＝１ 由(１)知,A →１C为平面AB →１C１ 的法向量A１C＝ (－１,０,－ ３) １２分 cos m, ２３ ３ A →１C ＝２×２＝ ２ １４ 分 所以,平面AB１C１ 与平面B１C１C 的夹角为３０° １５分 ( a a a ＋３ ３１７．１)证明:∵ n ＝ n＋１a ＋３ ３ 　∴ n ＝ n an an＋１ ３ ３ １ １ １ 即 － ＝１　∴ － ＝ ３分an＋１ an an＋１ an ３ {１} , １∴ 为等差数列 其首项为１,公差为 分an ３ ４ １ １ １ n－１ n＋２ ∴ ＝ ＋(n－１)× ＝１＋ ＝ ５分an a１ ３ ３ ３ ３ ∴an＝ 分n＋２ ６ n n－１ (２)由 １ ３ １ ÷ ２ ＜ ÷ 得 n－１ n , 分 è k＋２≤ ２ ３ ２ －２≤k＜３ ２ －２n∈N ７è ∵３ ２n－２－(３ ２n－１－２)＝３ ２n－１ ∴满足不等式的正整数k的个数为３ ２n－１ ∴b ＝３ ２n－１n ９分 bn＝３ n－１ n＋２ ２ ＝(n＋２) ２n－１ 分a １０n ３ S ＝３ ２０＋４ ２１＋５ ２２＋ ＋(n＋２) ２n－１n 　① ２S １ ２ ３ nn＝３ ２ ＋４ ２ ＋５ ２ ＋ ＋(n＋２) ２ 　② １１分 ①－②得:－Sn＝３＋２１＋２２＋ ＋２n－１－(n＋２) ２n １２分 ２(１－２n－１) ＝３＋ －(n＋２) ２n＝１－(n＋１) ２n １－２ １４ 分 ∴Sn＝(n＋１) ２n－１ １５分 ( () ( ,), : x－２ )２＋y２ ６ １８．１ 设M xy 由题意得 ＝ 分|３－x| ３ ２ 数学试题　参考答案　第　２页　共４页 x２－４x＋４＋y２ ２ x２ y２ 两边平方得: x２ ,化简得 －６x＋９ ＝３ ６＋２＝１ ５分 (２)由题意直线PQ 的斜率存在且不为０, 设直线PQ 的方程为y＝k(x－４),P(x１,y１),Q(x２,y２) ìx２ y２ ６＋联立 í ２ ＝１ (１＋３k２ ... ...