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课件网) 第2章 对称图形———圆 2.2 圆的对称性 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 圆的对称性 圆心角、弧、弦之间的关系 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 垂径定理 轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合. 一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合. 知识点 圆的对称性 1 1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． (1)圆的对称轴有无数条. (2)圆的对称轴是过圆心的任意一条直线，或说成圆的对称轴是直径所在直线． 3. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．旋转不变性是圆具有的独特的性质之一． 警示误区 因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 例 1 [月考·徐州] 如图2.2-1，以点O为旋转中心旋转如图所示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，则旋转角可以为( ) A. 60° B. 180° C. 90° D. 120° 解题秘方：紧扣圆的旋转不变性，结合旋转中心O确定旋转角． 答案：D 解：因为圆心O为旋转中心，旋转后的图形与原图形重合，所以∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝360°÷3＝120°．所以旋转角可以为120°． 特别提醒 在圆的许多性质中，圆的对称性(轴对称、中心对称及旋转不变性)是最基本的性质．此题利用性质时要结合图形，易误得旋转角度是60°． 知识点 圆心角、弧、弦之间的关系 2 1. 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 2. 示例 弧、弦、圆心角的关系： 如图2.2-2，若∠AOB＝∠A′OB′， 则 AB＝A′B′，AB＝A′B′. ⌒ ⌒ 3. 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 这一推论包含三层意思，可用数学语言描述如下：如图2.2-2，AB、A′B′ 是⊙O的两条弦. (1)若∠AOB＝∠A′OB′，则AB＝A′B′，AB＝A′B′； (2)若AB＝A′B′，则∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′； (3)若AB＝A′B′，则∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 警示误区 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 如图2.2-3，两个 圆是同心圆，AB与A′B′对应的圆心角 相等，但AB≠A′B′，AB≠A′B′. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例2 如图2.2-4，AB、CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB. 求证：BC＝AE . 解题秘方：构造圆心角，利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”证明. ⌒ ⌒ 证明：如图2.2-4，连接OE. ∵ OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC. ∵ CE∥AB， ∴∠OCE＝∠BOC，∠OEC＝∠AOE. ∴∠BOC＝∠AOE. ∴ BC＝AE(在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等). ⌒ ⌒ 技巧提醒 由例2的结论可知，在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等，以后若遇到圆的两条平行弦，可考虑运用它们所夹的弧相等证明两条弧所对的弦、圆心角分别相等. [模拟·武汉] 如图2.2-5，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD. 求证：AD＝BC. 例 3 解题秘方：由圆心角、弧、弦之间的关系定理的推论证明 AD＝BC即可解决问题． ⌒ ⌒ 证明：∵ AB＝CD，∴ AB＝CD . ∴ AC＋BC ＝AC＋AD . ∴ AD＝BC . ∴ AD＝BC. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解法提醒 在同一个圆(或等圆)中，两个圆心角、两条弧和两条弦中只要有一组量相等，就能推出它们所对应的另外两组量相等；弦有和差关系，所对的弧也有和差关系. 知识点 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 3 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧. n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角. 注意： ... ...
