(
课件网) 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭 圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 1 课前预习 素养启迪 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 , 叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距. [问题] 定义中要求常数大于|F1F2|,当该常数等于|F1F2|时,点的轨迹是什么 小于|F1F2|时,点的轨迹又是什么 答案:当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹为线段F1F2;当常数小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. 距离的和等于常数(大于|F1F2|) 焦点 两焦点间的距离 2.椭圆的标准方程 若|F1F2|=2c,|MF1|+|MF2|=2a(a>c),则椭圆的标准方程、焦点坐标及a,b,c的关系如表所示 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 焦点 坐标 a,b,c的 关系 c2= (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) a2-b2 1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 A 解析:因为|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6,由椭圆定义知,动点M的轨迹为椭圆. B BC 2 课堂探究 素养培育 椭圆的定义在焦点三角形中的应用 [变式探究] 在本例中,若把“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积. (1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|= 2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 求椭圆的标准方程 [例2] 根据下列条件,写出椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26; (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 ①定位,确定焦点在哪个轴上; ②定量,依据条件及a2=b2+c2确定a,b,c的值; ③写出标准方程. (3)当椭圆过两定点时,常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0, 且A≠B),将点的坐标代入解方程组求得系数. [针对训练] 根据下列条件,求椭圆的标准方程. (2)经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点. 椭圆标准方程的应用 角度1 利用椭圆的标准方程求参数的值(取值范围) 根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. 角度2 利用椭圆的标准方程确定椭圆的基本量 [例4] 椭圆mx2+ny2=-mn(m
2a 点P在椭圆外. 与椭圆定义有关的轨迹问题 (1)对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. (2)椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. [针对训练] 已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. 椭圆的各种方程形式 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围),在求解这类问题时,必须先确定焦点位置,从而可得a2,b2的值.当焦点不确定时,应注意分类讨论,分别求值.另外,应 ... ... 
