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课件网) 3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程 1 课前预习 素养启迪 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 . [问题1] 当l经过点F时,动点的轨迹是什么 答案:过点F垂直于直线l的一条直线. 距离相等 焦点 准线 2.抛物线标准方程的几种形式 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) [问题2] 抛物线的标准方程有什么特征 答案:等号一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一变量的一次项. A AD 2.(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为( ) A.y2=x B.y2=8x C.y2=-8x D.x2=-8y 3.抛物线y2=4x上的点P到焦点的距离是5,则P点坐标是 . (4,±4) 4.如图,某河流上有一座抛物线形的拱桥,已知桥的跨度AB=10 m,高度h=5 m(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨,导致河水从桥的基座A处开始上涨了1 m,则此时桥洞中水面的宽度为 m. 2 课堂探究 素养培育 求抛物线的焦点及准线 [例1] 设抛物线的方程为y=ax2(a≠0),求抛物线的焦点坐标与准线方程. 求抛物线的焦点及准线方程的步骤 (1)把抛物线方程化为标准方程形式. (2)明确抛物线开口方向. (3)求出抛物线标准方程中参数p的值. (4)写出抛物线的焦点坐标和准线方程. [针对训练] 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 求抛物线的标准方程 [例2] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程. (1)过点(-1,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上. 求抛物线标准方程的方法 (1)直接法:直接利用题中已知条件确定参数p. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx或x2=my(m≠0). 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式;已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式,需根据四种抛物线的图象及开口方向确定. [针对训练] 根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)准线方程为y=-1; (2)焦点在x轴的正半轴上,焦点到y轴的距离是1. 解:(2)因为焦点到y轴距离为1,所以p=2.又因为焦点在x轴的正半轴上,所以抛物线的标准方程为y2=4x. 抛物线定义的应用 [例3] 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1, 求动点P的轨迹方程. 法二 由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点符合条件; 当x≥0时,题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x. 故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0). 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. [针对训练] 已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆的圆心P的轨迹方程. 抛物线的实际应用 [例4] 如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P的长度为 1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计为多少米 (精确到1 m) 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. [针对训练] 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时,小船开始不能通航 D A 2.若 ... ...
