四川省成都市第七中学2024届高三下学期三诊模拟考试 数学试题（理科） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若向量与向量是共线向量，则实数等于（ ） A．2 B． C． D．0 2．复数（其中为虚数单位）的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 4．的展开式中，第5项为常数项，则正整数等于（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四条棱中，棱长最大值为（ ） A． B． C． D．2 6．已知，则（ ） A．3 B． C．或0 D．3或0 7．已知圆，直线，则“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 附：． 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ） A．甲班人数少于乙班人数 B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率 C．表中的值为15，的值为50 D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” 9．若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，若，则（ ） A． B． C． D．0 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为双曲线上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．若，则的面积为 D．以为圆心，为半径的圆与渐近线相切 12．设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ） A． B．4 C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．某班男女生的比例为，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为_____． 14．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点（在第一象限），分别过作准线的垂线，垂足分别为，若，则直线的倾斜角等于_____． 15．在中，角所对的边分别为，若，则_____． 16．在三棱柱中，平面是矩形内一动点，满足，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为_____． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元． 年龄 保费 （Ⅰ）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费至少为多少元？（精确到整数） （Ⅱ）随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在和的老人中各随机选取1人，记表示选取的这2人中患该疾病的人数，求的数学期望． 18．（本小题满分12分） 已知数列的前项和为． （Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求出通项公式； （Ⅱ）设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和． 19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱中，平面是棱的中点，在棱上，且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若四棱锥的体积等于1，求二面角的余弦值． 20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，椭圆过点，直线与椭圆相交于不同于点的，两点，为线段的中点，当直线斜率为时，直 ... ...
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