2024年高考数学复习专题 练习★★函数的公切线问题（4大考点+强化训练）（无答案）

2024年高考数学复习专题 练习★★ 函数的公切线问题（4大考点+强化训练） 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养． 【知识导图】 【考点分析】 考点一：求两函数的公切线 规律方法　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 【例1】已知抛物线和，如果直线l同时是和的切线，称l是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段． (1)a取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； (2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分． 【变式】（2023·云南保山·统考二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考点二：与公切线有关的求值问题 规律方法　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． 【例2】（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知，． (1)若在处的切线也与的图象相切，求的值； (2)若在恒成立，求的取值集合． 【变式】设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线． (1)用t表示a，b，c； (2)若函数在上单调递减，求t的取值范围． 考点三：判断公切线条数 规律方法　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 【例3】曲线C1：与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是 。 【变式】 曲线C1：与曲线C2：(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考点四：求参数的取值范围 规律方法　利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 【例4】（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 【变式】若函数 【强化训练】 一、单选题 1．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”．下列方程：①；②；③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 2．已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（ ） A． B． C． D． 3．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 4．（2021上·四川成都·高三成都七中期中）如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024上·山西运城·高二统考期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 7．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 . 8．（2024下·重庆·高二重庆一中校考开学考试）已知函数，（，），若存在直线l，使得l是曲线与曲线的公切线，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 9．判断曲线与曲线的公切线的条数，并说明理由. 10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 11.已知函数. （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x ... ...