【精品解析】高中数学三轮复习（直击痛点）：专题14截面问题

高中数学三轮复习（直击痛点）：专题14截面问题 一、选择题 1．（2023高一下·台州期中）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（　　） A．所得截面是正五边形 B．截面过棱的三等分点 C．所得截面面积为 D．截面不经过中点 【答案】C 【知识点】棱锥的结构特征 【解析】【解答】 在四棱锥 中， ，取PB， BC， CD， PD中点分别为E， F， G，H，连接EH， EF， FH，如图， 因底面ABCD为正方形，E， F，H分别是棱PB，BC，PD的中点， 则EF// BD// FG，EF// PC//GH，得四边形EFGH是平行四边形， 令FG∩AC=J，则 在PA上取点I，使得，连接EI， HI， JI，则JI// PC// EF， 由点J∈平面EFGH，有JI 平面EFGH ，则点I∈平面EFGH， HI平面EFGH， 故五边形EFGHI是平面截四棱锥 所得的截面多边形， 而，，则截面不是正五边形，故A错误； 由A选项分析，可知截面过棱PA的四等分点，故 B错误； PA⊥底面ABCD，FG 平面ABCD，则PA⊥FG，而BD⊥AC， BD//FG，则AC⊥FG，又PA∩AC=A， PA，AC平面PAC，因此FG⊥平面PAC，PC平面PAC， 于是得FG⊥PC，有FG⊥EF， 所以矩形EFGH面积等于，， 而JI⊥EH，则△IEH边EH上的高等于 故 故截面五边形EFG H I面积为，故C正确； 截面经过CD中点，故D错误. 故选： C. 【分析】 根据给定条件，作出平面截四棱锥 所得的截面多边形，再逐项进行判断，即可得答案. 2．（2023高一下·安徽月考）下列叙述正确的是（　　） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征 【解析】【解答】解：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分是棱台，故A错误；由棱台的概念可知，棱台的侧棱延长后交于一点（原棱锥的顶点），所以B、C选项中的不一定是棱台，故B、C错误，D正确； 故选：D. 【分析】根据棱台的概念求及棱锥和棱台的关系判定即可. 3．（2020高一下·北京期中）一正四面体木块如图所示，点 是棱 的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱 和 ，则下列关于截面的说法正确的是（　　）． A．满足条件的截面不存在 B．截面是一个梯形 C．截面是一个菱形 D．截面是一个三角形 【答案】C 【知识点】棱锥的结构特征 【解析】【解答】取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 ， 易得 ∥ 且 ， ∥ 且 ，所以 ∥ ， ， 所以四边形 为平行四边形，又 平面 ， 平面 ，由线面平行 的判定定理可知， ∥平面 ， ∥平面 ，即截面为四边形 ，又 ，所以四边形 为菱形，所以C符合题意. 故答案为：C 【分析】取 的中点D， 的中点E， 的中点F，连接 ，易得即截面为四边形 ，且四边形 为菱形即可得到答案. 4．（2022高一下·台州期中）在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（　　） A．所得截面是六边形 B．截面过棱的中点 C．截面不经过点 D．截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征 【解析】【解答】在正方体中，依题意，直线FG与直线交于点P，显然， 直线FE交DA延长线于点Q，则有，如图， 连接，则有，而平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则平面与平面必有一条交线，此交线平行于，也平行于， 连，因，则四边形是平行四边形，于是得，即平面平面， 因此点是平面截正方体的截面的一个顶点，连交分别于点O，H， 连接，则五边形是平面截正方体所得的截面，A不正确，C不正确； 由知，，即，B不正确； 由得，即，则截面与线 ... ...