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课件网) 第三章 函数、导数及其应用 第十一节 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值 内容索引 学习目标 核心体系 活动方案 备用题 学 习 目 标 1. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2. 会用导数求函数的极大值、极小值.3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值． 核 心 体 系 活 动 方 案 活动一 基础训练 【答案】 B 【答案】 D 3. (多选)(2023镇江高三统考)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( ) A. f(x)在区间(－∞，1)上单调递减 B. f(x)在x＝－1处取得极大值 C. y＝f(x)在x＝－1处切线的斜率小于0 D. f(x)在x＝2处取得极小值 【分析】 根据导数的正负得函数的单调性，从而得出极值，由此判断各选项． 【答案】 AD 【解析】 由图可知，当x<1时，f′(x)≤0，所以f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，故A正确；f(－1)不是极值，故B错误；f′(－1)＝0，故C错误；当x<2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝2处取得极小值，故D正确．故选AD. 4. (2023河北高三校联考)函数f(x)＝|x－1|＋xlnx的最小值为_____. 【分析】 对x进行分类讨论，利用导数求得f(x)的最小值． 【答案】 0 活动二 典型例题 题组一 利用导数研究函数的极值 已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值． 1 已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，且x＝3是f(x)的极值点，求函数f(x)的极值． 2 【解析】 由题意，得g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)， 所以g′(x)＝ex－a. ①当a≤1时，g′(x)＝ex－a＞0， 所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，此时g(x) 在区间(0，＋∞)上无极值点，不符合题意； ②当a＞1时，g′(x)＝ex－a， 令g′(x)＝ex－a＞0，得x∈(ln a，＋∞)； 令g′(x)＝ex－a＜0，得x∈(0，ln a)， 所以g(x)在区间(0，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在区间(0，＋∞)上有极小值无极大值，且在x＝ln a处取得极小值，符合题意． 故实数a的取值范围是(1，＋∞)． 题组二 利用导数解决函数的最值问题 已知函数f(x)＝excosx－x. (1) 求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； 3 【解析】 (1) 因为f(x)＝excosx－x， 所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1， 所以f′(0)＝0. 又因为f(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. 备 用 题 2 4 1 3 【分析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，求f′(x)判断单调性，求得极值可判断A，C；根据单调性以及f(1)＝0可判断B，D，进而可得正确选项． 2 4 1 3 【答案】 AD 2. (多选)(2023全国高三专题练习)已知f(x)＝ax3＋3bx＋b2在x＝－1处取得极大值3，则下列结论中正确的是( ) A. ab＝－1 B. ab＝－9 C. f(1)＝－3 D. f(0)＝1 2 4 1 3 【分析】 根据原函数极值点即为导函数零点可得f′(－1)＝0，即可知a＝－b，再根据极大值为3可解得b＝－1或b＝3.易知当b＝3时，f(x)在x＝－1处取得极小值，与题意不符，当b＝－1时，函数f(x)在x＝－1处取得极大值，符合题意，可得a＝1，b＝－1，即f(x)＝x3－3x＋1，即可判断出结论． 【解析】 由题意，得f′(x)＝3ax2＋3b，且x＝－1是函数f(x)的极大值点，即f′(－1)＝3a＋3b＝0，可得a＝－b.又f(x)的极大值为3，所以f(－1)＝－a－3b＋b2＝3，解得b＝－1或b＝3；当b＝3时，a＝－3，此时f′(x)＝－9(x－1)(x＋1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间 (－1,1)上单调递增，此时函数f(x)在x＝－1处取得极小值，与题意不符，即b＝3舍去；当b＝－1时，a＝1，此时f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，当x∈ (－1,1)时，f ... ...
