河北省唐山市2024届普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题（PDF版含答案）

唐山市 2024 年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 数学参考答案 一．选择题：1～4．DBAC 5～8．CDBD 二．多选题：9．BC 10．AC 11．ABD 12 3三．填空题： ． 13．10 n(n＋1) 32 3， (前空 2分，后空 3分) 14．(8， ) 2 2 3 四．解答题：（若有其他解法，请参照给分） 15．解： （1）因为 AB⊥平面 B1BCC1，B1C 平面 B1BCC1，所以 AB⊥B1C， …1分 作 B1D⊥BC交 BC于点 D， 在等腰梯形 B1BCC1中，BB1＝B1C1＝CC1＝2，BC＝4，所以 BD＝1， …2分 在 Rt△BDB1中，cos∠B BD 11 ＝ ，所以∠B1BD＝60°， 2 在△BCB1中，由余弦定理得 B1C2＝B1B2＋BC2－2B1B·BC·cos60°＝12， …3分 所以 B1C2＋B1B2＝BC2，从而有 B1B⊥B1C， …4分 又 AB∩B1B＝B，所以 B1C⊥平面 BAA1B1， …5分 因为 AA1 平面 BAA1B1，所以 AA1⊥B1C． …6分 （2）以 B为原点，→BA、→BC分别为 x轴、y轴正向，建立空间直角坐标系如图所示， 则 B (0，0，0)，A (3，0，0)，C (0，4，0)，B1(0，1， 3)， C1(0，3， 3)， →C1C＝(0，1，－ 3)，→AC＝(－3，4，0)， …8分 因为 AB⊥平面 B1BCC1， 所以→BA＝(3，0，0)为面 B1BCC1的一个法向量． …9分 设 n＝(x，y，z)为面 A1ACC1的法向量， → → y－ 3z＝0，则 n·C1C＝n· AC＝0，即 －3x＋4y＝0， 取 y＝3，x＝4，z＝ 3，则 n＝(4，3， 3)， …11分 |→BA·n| 依题意，cos →BA n 12， 2 7＝ ＝ ＝ ， |→BA ||n| 3×2 7 7 2 7 所以平面 B1BCC1与平面 A1ACC1夹角的余弦值为 ． …13分 7 16．解： （1）由题意知学生甲摸球 2次总得分 X的取值为 2，3，4 …1分 P (X 2) 2 2 4 2 1 4 1 1 1＝ ＝ × ＝ ，P (X＝3)＝C12× × ＝ ，P (X＝4)＝ × ＝ ， …4分3 3 9 3 3 9 3 3 9 所以 X的分布列为： X 2 3 4 4 4 1 P 9 9 9 高三数学参考答案 第 1页（共 4页） 所以 EX＝2 4× ＋3 4 4 1 8× ＋ × ＝ ． …6分 9 9 9 3 （2）记 Am＝“甲最终得分为 m分”，m＝8，9，10；B＝“乙获得奖励”． P (A9)＝C1 2 1 4 2× × ＝ ， …8分3 3 9 P (A8) 2 2 4 ＝C22( ) ＝ ． …10分3 9 当甲最终得 9分时，乙获得奖励需要最终得 10分，则 P (B|A )＝C5(19 5 )5 (1)5＝ ； …12分3 3 当甲最终得 8分时，乙获得奖励需要最终得 10分或 9分，则 P (B|A ) 18 ＝C55( )5 2 1 4 1 5＋C15× ×( ) ＝11×( ) ； …14分3 3 3 3 故 P (B)＝P (A9B)＋P (A8B)＝P (A9)×P (B|A9)＋P (A8)×P (B|A8) 4 (1)5 4 11 (1)5 48 16 16＝ × ＋ × × ＝ ＝ ＝ ． 9 3 9 3 37 36 729 16 即乙获得奖励的概率为 ． …15分 729 17．解： （1）sin3x＝sin(2x＋x)＝sin2xcosx＋cos2xsinx …2分 ＝2sinxcosx·cosx＋(1－2sin2x)sinx …4分 ＝2sinx(1－sin2x)＋sinx－2sin3x ＝3sinx－4sin3x …6分 1 （2）由（1）可知，sin30 ＝3sin10 －4sin310 ＝ ， …8分 2 即 sin10 是方程 4x3 1－3x＋ ＝0的一个实根. …10分 2 令 f (x)＝4x3 1－3x＋ ，f (x)＝12x2－3＝3(2x＋1)(2x－1)， …11分 2 sin10 sin30 1 1显然 0＜ ＜ ＝ ，当 0＜x＜ 时，f (x)＜0， 2 2 1 1 所以 f (x)＝4x3－3x＋ 在(0， )上单调递减， …12分 2 2 f ( 1 ) 4 ( 1 )3 0 f ( 1 ) 1 1 1 17又 ＝ × ＞ ， ＝4×( )3－3× ＋ ＝－ ＜0， …14分 6 6 5 5 5 2 250 所以 sin10 ( 1 1∈ ， )，即 n＝5. …15分 6 5 18．解： x2 y2 （1）根据题意设椭圆 C的标准方程为 ＋ ＝1，c＝1， …1分 a2 b2 由已知得，ab＝2 3，a2－b2＝1， …3分 解得 a＝2，b＝ 3， x2 y2 所以椭圆 C的标准方程为： ＋ ＝1. …5分 4 3 高三数学参考答案 第 2页（共 4页） （2）依题意设直线 AB方程为 y＝kx＋m， y＝kx＋m， 2 2 由 x＋y＝1，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， …6分 4 3 由题意△＝64k2m2－4(3＋ ... ...