专题5 解三角形 【必备知识】 余弦定理 文字 语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号 语言 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A， b2＝a2＋c2－2ac__cos__B， c2＝a2＋b2－2ab__cos__C 定理 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 【必备技能】 两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角． 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角． 【考向总览】 考向一：已知两边及一角解三角形（★★） 考向二：已知三边或三边关系解三角形（★★） 考向三：判断三角形的形状（★★） 【考向归类】 考向一：已知两边及一角解三角形 【典例1-1】（22-23高一下·江苏盐城·期中） 1．在中，分别为角的对边，若,则 A．4 B． C．3 D． 【典例1-2】(2023·福建三明一中高一检测) 2．在中，，则（ ） A．2 B．3 C．2或5 D．3或5 【备考提醒】 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角． （1）若已知角是给出两边的夹角，直接运用余弦定理求出第三边，再由余弦定理和三角形内角和定理求其他角． （2）若已知角是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解． 【举一反三】 (2023·重庆市育才中学高一检测) 3．在中，若，则（ ） A． B． C． D． （22-23高一下·江苏镇江·期末） 4．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（ ） A． B． C． D． （22-23高一下·江苏苏州·期末） 5．在中，若，，，则（ ） A． B．3 C．6 D． 考向二：已知三边或三边关系解三角形 【典例2-1】(2023·湖南长沙高一检测) 6．在中，已知，则（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（22-23高一·江苏南通·期末） 7．的三边长之比为，则最小角和最大角之和的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【备考提醒】 已知三角形的三边解三角形的方法 注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解三角形． 【举一反三】 （22-23高一下·江苏徐州·期中） 8．中，三边长之比为，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 （22-23高一下·江苏苏州·期末） 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝ . （22-23高一·江苏南通·期末） 10．已知的内角的对边分别为，若，求中线的长． 考向三：判断三角形的形状 【典例3-1】（22-23高一下·江苏徐州·期中） 11．已知在中，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【典例3-2】（22-23高一下·江苏泰州·期中） 12．在△ABC中，，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状． 【备考提醒】 1．利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 （1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． （2）化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． 2．判断三角形时经常用到以下结论 （1）△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2． （2）△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2． （3）△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2． （4）若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝． 【举一反三】 （22-23高一下·江苏常州·期末） 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 (2023·江苏常熟中学高一检测) 14．已知a，b，c分别为△三个内角A，B，C的对边，且，则△是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （22-23高一 ... ...
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