中小学教育资源及组卷应用平台 7.3.2等比数列前n项和公式 知识 能力与素养 理解并掌握等比数列前n项和,公式，并应用公式解决简单的问题. 结合中国历史著作《孙子算经》趣题、棋盘麦粒故事等情境与问题,培养学生建模思想，体验历史文化，培养学生观察、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想． 学习目标 学习重难点 重点 难点 等比数列前n项和公式的推导，理解及应用. 等比数列前n项和公式的推导及应用． 教材分析 本节课是在学生学习了等差数列通项公式和前n项和公式、等比数列的通项公式后，进一步学习等比数列的前n项和求和． 学情分析 前几节课学生已学习了等差数列通项公式和前n项和公式、等比数列的通项公式，对数列有了一定的认识，能在教师的引导下能本节内容与等差数列前n项和公式进行类比，但本节内容与等差数列前n项和公式的推导又有所不同，另外这一条件学生容易忽略. 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 （一）创设情境，生成问题 相传古时候有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，并将其献给了国王，国王从此迷上了下棋.作为对这位大臣的奖勋，国王许诺满足大臣一个要求.大臣说:“就在这个棋盘上放上一些麦粒吧，第一格放1粒,第二格放2粒,第三格放4粒，然后依次是8粒,16粒, ,一直到第六十四格.”“就要这么一点儿麦粒？”国王哈哈大笑，慷慨地答应了.大臣:“就怕您的国库里没有这么多麦粒！”为什么大臣说国库里没有这么麦粒呢？ 【设计意图】古代趣题提高文化素养. （二）调动思维，探究新知 可以看出，按照大臣的要求，在棋盘上六十四个格中所放的麦 粒数构成等比数列 1,2,4,8,16,32,64,…, .到底棋盘上需要放多少麦粒呢？要回答这一问题，就需要计算出等比数列 1,2,4,8,16,32,64,… 各项的和. 设{an}是一个公比为q的等比数列，记{an}的前n项和为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an . (1) 根据等比数列的定义可知，等比数列的每一项与公比的乘积等于与它相邻的后一项.我们将(1)式的两边同时乘公比q,得到 qSn=a1q+a2q+a3q+…+a n-1q+anq， 即 qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1. (2) 比较(1) 、(2)两式可以看出, (1)式的右边从第2项至最后一项与(2)式右边的第1项至倒数第2项分别相同．将(1)式的两边分别减去(2)式的两边就可消去相同的项，得到 (1-q)Sn=a1-an+1 当q≠1时， 由等比数列的通项公式可得an+1=a1qn，将其代入上式即得等比数列前n项和公式 由等比数列的定义得an+1=anq，带入前式得等比数列前n项和公式为 当q=1时，等比数列是一个常数列，其前n项和为 Sn=na1. 现在，我们回到本节“情境与问题”的等比数列{an}中,a1=1,q=2,n=64. 因此，棋盘上六十四个格中所放的麦粒总数为（粒） 根据实际测算可知，1kg麦粒约有52000粒.因此，这些麦粒的总质量约为354745078340t，这大约相当于全世界一千年生产的小麦质量的几百倍. 【设计意图】引导学生从“棋盘上的麦粒”的故事中抽象出等比数列的模型，然后利用错位相减法推导出前n项和公式，观察归纳等比数列的特点，培养和提升归纳分析的能力. 探究与发现 当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，这个数列具有什么特征？ （三）巩固知识，典例练习 【典例1】在等比差数列{an}中，a1=2，q=3，求该数列前5项的和． 解：由等比数列的前n项和公式 所以该数列的前5项和为242. 【典例2】在等比数列{an}中，a1=2， q=3，an=162，求该数列前n项的和． 解：由等比数列前n项和公式 得 所以该数列前n项和为242. 【设计意图】例5和例6是巩固性练习，目的是直接利用前n项和公式解题. 【典例3】已知等比数列1，2，4，8，…，求该数列第5项至第10项的和． 分析：第5项至第10项的和为a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示为该数列前10项的和减去其前4项的和． 解：根据已知条件a1=1， 于是， ... ...
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