中小学教育资源及组卷应用平台 7.3.1等比数列的概念 知识 能力与素养 掌握等比数列的前n项和公式及推导过程；会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 培养学生的逻辑推理能力；培养学生分析问题，解决问题的能力． 学习目标 学习重难点 重点 难点 等比数列前n项和公式的推导，理解及应用. 等比数列前n项和公式的推导及应用． 教材分析 本节课通过我国古代数学著作《孙子算经》趣题引出等比数列的概念，介绍了等比数列的通项公式及其应用．根据具体实例给出等比中项的定义及等比中项公式，引导学生从“棋盘上的麦粒”的故事中抽象出等比数列模型，在等比数列的教学中，可采用类比的方法，在复习等差数列的有关知识的同时，对等比数列的相应知识进行类比学习． 学情分析 学生已学习了等差数列通项公式和前n项和公式，对数列有了一定的认识，能在教师的引导下解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高，在等比数列的教学中，可采用类比的方法，在复习等差数列的有关知识的同时，对等比数列的相应知识进行类比学习，以提高学生接受知识的效率. 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 （一）创设情境，生成问题 等比数列是另一种有特殊规律的数列，其通项公式、求和公式 的推导蕴含着与等差数列不同的重要的数学思想方法. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来，这组数有什么规律？ 【设计意图】古代趣题提高文化素养. （二）调动思维，探究新知 不难看出,这组数构成一个数列：9,81,729,8561…,我们也可以将其表示成9,92,93,94,….在这个数列中,从第二项起每项与它前一项的比都是9. 类似的数列还有32,16,8,4,…. 不难看出, 从第二项开始，每一项与它前一项的比都是 一般地,如果一个数列an从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时,就称这个数列为等比数列,这个常数称为等比数列的公比,通常用字母q来表示． 如数列 9,81,729,6561,…为等比数列,其公比q=9；数列32,16，8,4，…是等比数列,公比q= 如果数列an是一个公比为q的等比数列,那么从第二项起,数列的每一项都等于它的前一项与公比的乘积，即 a2 =a1q， a3 = a2 q=( a1q)q= a1q2 ， a4 = a3 q=( a1 q2)q= a1 q2 ， …… 因此，首项为a1、公比为q 的等比数列an的通项公式为 an = a1qn-1 (其中a1与q均不为0)． 【设计意图】结合实例学习等比数列的定义，应强调公比为1的数列是常数列，但常数列不一定是等比数列. 探究与发现 当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，这个数列具有什么特征？ （三）巩固知识，典例练习 【典例1】在等比数列an中， a1=2，q=4，求an，a5． 解：根据等比数列通项公式an=a1 qn-1可知 an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1； 即 an= 22n-1 ． 因此，a5 = 22×5-1 =29=512． 【典例2】将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列：2,4,8,…． (1) 求这个数列的通项公式； (2) 求第5次对折后报纸的层数； (3) 问第几次对折之后报纸的层数是128？ 解： (1) 设这个数列为an,则a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为 an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2) 根据通项公式可知，a1=25=32，因此第5次对折之后的报纸的层数为32层. (3) 设第n次对折后报纸的层数是128,即an＝128,则由通项公式可知 2n=128， 2n =27，解得 n=7. 因此，第7次对折后报纸的层数是128. 【设计意图】例1和例2是巩固性练习，目的是直接利用通项公式解题. 【典例3】在等比数列{an}中，a4=36，a6=144，求首项a1和公比q． 解：根据等比数列的通项公式 an=a1qn-1可得 ②式除以①式，并整 ... ...
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