专题10 立体几何综合 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 一、解答题（共18小题） 1．（2024 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DA＝A1B1＝4，AB＝8，∠ADC＝120°． （1）证明：BD⊥A1A； （2）若四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，求平面ADD1A1与平面BCC1B1所成的锐二面角的余弦值． 2．（2024 赣州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝4，CD＝3，M为侧棱PC的中点． （1）求点D到平面PBC的距离； （2）求二面角M﹣AD﹣B的正切值． 3．（2024 丹东模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，PA＝PB＝PC＝AD＝2，，BC＝1，点E在棱PD上． （1）求证：平面PAC⊥平面ABCD； （2）若平面ACE分两部分几何体PABCE与ACDE的体积之比3：2，求二面角E﹣AC﹣D的正弦值． 4．（2024 龙华区校级二模）已知平面四边形ABCE（图1）中，△ACE，△ABC均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，AB＝AC＝4，∠AEC＝90°，沿AC将△ACE翻折至△ACD位置（图2），拼成三棱锥D﹣ABC． （1）求证：平面ABC⊥平面DMN； （2）当二面角D﹣AC﹣B的平面角为60°时，求C点到面ABD的距离． 5．（2024 绿园区校级模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD＝2AD＝2，AB＝3，E为线段AB上靠近点A的三等分点，将△ADE沿着DE折叠，得到四棱锥A﹣BCDE，使平面ADE⊥平面BCDE，P为线段CE上的点． （1）求证：AD⊥AP； （2）是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求出线段EP的长；若不存在，请说明理由． 6．（2024 枣庄一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点． （1）求证：AE⊥平面PCD； （2）若AB＝2，G为△BCD的内心，求直线PG与平面PCD所成角的正弦值． 7．（2024 池州模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，，，点D，E分别在棱AB，AC上，DE＝2，且三棱锥P﹣ADE的体积为． （1）求AD+AE的值； （2）若点M满足，求直线CM与平面MDE所成角的余弦值． 8．（2024 常德模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，PA＝PD． （1）证明：BD⊥平面PAD； （2）已知三棱锥B﹣PAD的体积为，点N为线段AP的中点，设平面NCD与平面PBD的交线为l，求直线l与平面PAB所成角的正弦值． 9．（2024 濠江区校级一模）已知平行四边形ABCD如图甲，∠D＝60°，DC＝2AD＝2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P位置，且PC⊥BC，连接PB得三棱锥P﹣ABC如图乙． （Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面ABC； （Ⅱ）在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣AB﹣C的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 10．（2024 葫芦岛一模）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD是长度为2的底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且SO＝3，P为母线SB上一点． （1）求证：当P为SB中点时，SA∥平面PCD； （2）若∠AOC＝60°，二面角P﹣CD﹣B的余弦值为，试确定P点的位置． 11．（2024 安庆二模）如图，将边长为2的菱形ABDC沿其对角线BC对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边△PBC所在平面的两侧，且．设E是PA的中点． （1）证明：平面PBC⊥平面ABC； （2）求平面EBD与平面ABC夹角的正弦值． 12．（2024 沈阳模拟）由正棱锥截得的棱台称为正棱台，如图正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1，M为BC中点，点P满足，其中λ∈（0，1）． （1）证明D1P⊥AC； （2）若平面AMC1与平面ABCD所成角的余弦值为，且λ，求直线DP与平面AMC1所成角的正弦值． 13．（2024 杭州模拟）如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABC ... ...
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