RJ数学八下专题课堂(十) 正方形中常见的几何图形结构（含答案）

RJ数学八下专题课堂(十)正方形中常见的几何图形结构 一、“十字架”结构 正方形中存在端点在正方形的边上且互相垂直的线段，看起来像“十字架”，利用垂直证明三角形全等得出线段或角的关系. 【例1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（　　） A.45° B.60° C.67.5° D.77.5° 【对应训练】 1．(1)如图1，在正方形ABCD中，若CE⊥DF，则线段CE与DF有何数量关系？请说明理由. (2)如图2，在正方形ABCD中，若GE⊥HF，则线GE与HF有何数量关系？请说明理由. 图1 图2 2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE⊥BF于点G，CH⊥BF于点H，BG＝HG. (1)求证：BH＝AG； (2)若AB＝4，求CH的长. 3．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥DE交DE于点F，交CD于点G，连接BF. (1)求证：△ADG≌△DCE； (2)求证：AB＝FB. 4．在正方形中，P是边BC上一动点（不与点B， C重合），连接AP. （1）如图①，过点B作BQ⊥AP，垂足为O，交CD于点Q，求证：△ABP≌△BCQ； （2）如图②，E是AP上的一点，过点E作MN⊥AP，分别交AB，CD于点M，N.求证：AP＝MN. 二、“a＝2b”结构 在正方形中存在直角三角形利用斜边上的中线得 “a＝2b”；或在正方形中存在三角形利用其中位线得 “a＝2b”. 【例2】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，M为AB的中点，连接OM.求证：AB＝2OM. 【对应训练】 5．如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F.求证：CE＝2OF. 三、“a＝”结构 在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”. 【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E为OD上一点，且BE＝BA，连接AE. (1)求证：AE平分∠DAC； (2)求证：DE＝. 【对应训练】 6．如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，且ED＝EF.求证：BF＝. 7．如图，P为正方形ABCD边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.求证：CE＝. 四、45°角结构 在正方形中构造一个等腰直角三角形，利用勾股定理证明“a＝b”. 【例4】如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，求正方形的边长． 分析：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，先证△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，设正方形的边长为x，根据勾股定理列方程，求出x即可． 【对应训练】 8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（　　） A.2α B.90°－2α C.45°－α D.90°－α 9．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，DE＝BF.点G，H分别在边AB，CD上，且GH＝3，GH交EF于M.若∠EMH＝45°，求EF的长． 10．如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，F为AB上一点，AE，CF交于点O.若AB＝6，∠AOF＝45°，求BF的长． 11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，∠EAF＝45°. （1）若EA是∠BEF的平分线，求证：FA是∠DFE的平分线； （2）若BE＝DF，求证：EF＝BE＋DF. 五、手拉手结构 【例5】如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H. （1）求证：△EAB≌△GAD； （2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长. 中小学教育资源及组卷应用平台 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 参考答案 一、“十字架”结构 正方形中存在端点在正方形的边上且互相垂直的线段，看起来像“十字架”，利用垂直证明三角形全等得出线段或角的关系. 【例1】如图，在正方形ABCD中 ... ...