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课件网) 数 学 4.4.3 两平面垂直 第4章 立体几何 拓展模块一（上册） 高等教育-出卷网- 第4章 立体几何 4.4.3 两平面垂直 学习目标 知识目标 知道两个平面垂直的定义；能用两个平面垂直的判定定理证明两个平面垂直，能用两个平面垂直的性质定理证明直线与平面垂直． 能力目标 (1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。 （2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。 情感目标 关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用． 核心素养 通过学习，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的能力． 创设情境，生成问题 活动 1 观察教室,可以直观感受到教室的墙面和底面是相互垂直的.如何检验这一结论的正确性呢？ 调动思维，探究新知 活动 2 当两个平面所成的角是时,称这两个平面互相垂直. 此时两个平面相交形成的四个二面角都是 .平面α与平面β垂直,记作α⊥β. 调动思维，探究新知 活动 2 要检验墙面和地面所成的二面角是否为直二面角,可以作出它们构成的二面角的平面角,并测量其大小是否为,除此之外,还有什么方法呢？ 调动思维，探究新知 活动 2 我们知道,利用直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直.类似地,也可以利用直线与平面垂直来判定平面与平面垂直. 如图所示, 直线 AB⊥平面β, 垂足为 B, AB 平面α. 设α∩β=CD, 则B∈CD.在β内过点B作BE⊥CD. 由 AB⊥β可知AB ⊥ CD, AB⊥BE. 于是, ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角, 且∠ABE是直角. 因此, α与β所成的角是 , 即α⊥β . 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的条垂线, 那么这两个平面互相垂直. 巩固知识，典例练习 活动 3 典例1 如图所示,己知∠ACB= 90°,P是平面ABC 外一点,且 PA⊥平面ABC,求证: 平面PAC⊥平面PBC. 证明:因为∠ACB= 90°,所以 AC⊥BC. 因为PA⊥平面ABC, BC 平面ABC,所以PA⊥BC. 因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC. 因为BC 平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC. 利用直线与平面的垂直可以判定平面与平面垂直.反过来,也可以借助于两个平面的垂直来判定直线与平面垂直. 两平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 . 已知: α⊥β, α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,垂足为B,如图所示 . 求证: AB⊥ β. 证明 在平面β内过点B作BE⊥CD,则由AB⊥CD可知∠ABE是二面角 α-CD- β的平面角. 因为α⊥β,所以∠ABE=， 即 AB⊥BE. 则AB 与两条相交直线 BE、CD 都垂直,故AB⊥ β. 典例2 己知平面α⊥平面β,点A∈α,且 AB⊥β,垂足是B. 求证: AB α. 巩固知识，典例练习 活动 5 证明 ： 如图所示设α∩β =l,假设 AB α. 在平面α内过点A作AC⊥ l,垂足为C.则AB与AC相交.因为 α⊥β,所以且 AC⊥β. 又因为AB⊥β,所以 AB//AC,这与 AB、AC 相交矛盾,故假设不成立,所以AB α. 巩固练习，提升素养 活动 7 1. 判断下列命题的真假 (1)如果m⊥β,m α,那么α⊥β. (2) 如果m α,n β,且m⊥n，那么α⊥β. (3)如果m α, α⊥β，那么m⊥β. (4) 如果α⊥β, α∩β=l, m⊥l, 那么m⊥β. 2. 按要求画出满足条件的一个图形. (1)直二面角； (2)两个互相垂直的平面. 巩固练习，提升素养 活动 7 3. 已知AB为一个圆的直径, 点C为圆上不同于A、B的点,PA垂直于圆所在平面,如图所示,求证: 平面PAC⊥平面PBC. 巩固练习，提升素养 活动 8 4. 已知α⊥β, α∩β=l,AB α,AB⊥l,垂足为 B, AB=5cm,C∈B ,线段AC 在B上的射影 BC 的长度为 12cm, 如图所示.求 AC的长. 巩固练习，提升素养 活动 7 5. 在墙上挂一个镜框,为了使镜框下沿与地面平行,可先拿两根等长的木棍紧靠壁放在地上,并让木棍与墙角线垂直,再把镜框下沿放到 ... ...
