（含解析）2024年中考数学复习探究性试题汇编---代数式

2024年中考数学复习探究性试题汇编之代数式 一．解答题（共15小题） 1．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… （1）请你按照上述等式规律写出第5个等式； （2）根据上述等式规律写出第n个等式； （3）证明（2）中你所写等式的正确性． 2．设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52…，容易知道a1＝8，a2＝16，a3＝24，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整除，所以a1，a2，a3都能被8整除． （1）试探究an是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论． （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a1，a2，a3…an这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，an为完全平方数． 3．数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐． （1）图1中，数轴B上表示9的点与数轴A上表示 　 　的点对齐，数轴A上表示﹣8的点与数轴B上表示 　 　的点对齐； （2）如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示﹣2的点对齐，则数轴A上表示5的点与数轴B上表示 　 　的点对齐，数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示 　 　的点对齐； （3）若数轴A上表示2n的点与数轴B表示3m的点对齐，则数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示 　 　的点对齐，数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点与数轴A上表示 　 　的点对齐．（用代数式表示） 4．若一个两位数的十位和个位上的数学分别为x，y，我们可将这个两位数记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． [甚础尝试] （1）填空： 如果要用数字3，6，9组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是 　 　；最小的三位数是 　 　． [问题探究] （2）若一个三位数各数位上的数由a，b，c三个数字组成，且a＞b＞c＞0．那么请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除． [拓展运用] （3）黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象： ①任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为729，则972﹣279＝693），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减…这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．该“卡普雷卡尔黑洞数”为 　 　； ②任意找一个能够被3整除的正整数，先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次（如a a a），所得的值再相加，得到一个新数；然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次，所得的值再相加…如此重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝　 　，我们称它为数字黑洞，T为何具有如此魅力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘! 5．某商店钢笔每支25元，笔记本每本5元．该商店为促销制定了两种优惠方法：甲：买钢笔一支送笔记本一本；乙：按购买总额的90%付款．我校七年级某班需购买这种钢笔若干支，这种笔记本60本．（钢笔数少于笔记本数） （1）若需要钢笔10支，则甲，乙两种优惠方法谁更省钱？请计算说明． （2）若购钢笔a支，则甲，乙两种优惠方法各需付款多少元？（用含a的代数式表示） （3）有没有可能甲种优惠方法比乙种优惠方法更省钱？若有，请直接举例一个a的值． 6．如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： （1）每本课本的厚度为　 　cm； （2）若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲 ... ...