专题3.3 垂径定理及其推论【十大题型】 【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】 【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】 【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】 【题型7 垂径定理的实际应用】 【题型8 垂径定理在格点中的运用】 【题型9 利用垂径定理求整点】 【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】 【知识点1 垂径定理及其推论】 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】 【例1】（2023春·九年级单元测试） 1．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1－1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习） 2．在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题: 甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦. 下面对这两个命题的判断,正确的是 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【变式1－2】（2023春·全国·九年级专题练习） 3．下列命题正确的是（ ） A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心 C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦 【变式1－3】（2023·福建三明·泰安模拟） 4．如图，是的直径，弦于点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．是等边三角形 D．四边形是菱形 【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 【例2】（2023·贵州遵义·统考三模） 5．在半径为r的圆中，弦垂直平分，若，则r的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2－1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习） 6．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为 ． 【变式2－2】（2023·湖北孝感·校联考一模） 7．如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E点，已知⊙O的半径为1，则 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2－3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习） 8．如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°． （1）若AP=2，BP=6，求MN的长； （2）若MP=3，NP=5，求AB的长； （3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围． 【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习） 9．如图，的弦垂直于，点为垂足，连接．若，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式3－1】（2023春·全国·九年级专题练习） 10．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度． 【变式3－2】（2023·上海·统考中考真题） 11．已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 【变式3－3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末） 12．按要求作图 (1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线； (2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形． 【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 【例4】（2023春·九年级单元测试） 13．如图，在平面直角坐标系 ... ...
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