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课件网) 第四章 三角恒等变换 4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 在三角函数中 ，我们学习了哪些基本的三角函数公式 任意角的三角函数的定义 同角三角函数的基本关系 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y) sinα=y cosα=x ∴ P点坐标为(cosα,sinα). 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 两个向量的数量积 其中 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 2牛顿的力将一物体沿着光滑水平面平移了0.5米 力和位移所成角为 15°试求该力所做的功. W=2×0.5×cos15°=cos15° 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 cos15°= 15°可以用哪两个特殊角表示 cos15°=cos(45°-30°) cos(45°-30°)=cos45°-cos30°成立吗 cos15°≠cos45°-cos30° 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 猜想 设α ，β为两个任意角，你能判断 cos(α-β)=cosα-cosβ恒成立吗 显然 cos(60°-30°)≠cos60°-cos30°, 因此对任意角α、β， cos(α-β)=cosα-cosβ不成立. 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 探究 如何用任意角α、β正弦、余弦来表示 cos(α-β) 我们来仔细想想， cos30°=cos(60°-30°), cos60°=cos(120°-60°), 大家大胆猜想一下怎么用 120°、 60°、30°的正弦值、余弦值表示使得此式左右恒等呢 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 问题 我们设想 cos(α-β)的值与α ，β的三角函数值有 一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 一般地，你猜想 cos(α-β)等于什么 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 向量法推导公式 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 对于任意的α，β均有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 对公式的说明 应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差， 还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用. 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 设P(cosα,sinα) , Q(cosβ,sinβ) 则 |PQ| =(cosα-cosβ) +(sinα-sinβ) . =2-2(cosαcosβ+sinαsinβ) 在 △CPQ中, ∴|PQ| =|OP| +|OQ| -2|OP||OQ|cos∠POQ ∴|PQ| =1+1-2cos(α-β), cos(α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ. 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 两角差的余弦公式 对于任意角α、β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记作： C(α-β) 形式 C (α-β) =CC+SS 口诀 余(弦)余(弦)正(弦)正(弦)异相连. 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 思考 由 C(α-β)公式出发，你能推导出两角和的余弦公式吗 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 换元 cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β) 转化 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 和角的余弦公式简记为 C (α+β) 温故知新 情境引入 和差角余弦 和差角余弦应用 归纳小结 检测达标 两角和的余弦公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 注意 ... ...
