2025北京版新教材数学高考第一轮基础练习（含答案）--8.5　空间角与距离、空间向量及其应用

中小学教育资源及组卷应用平台 2025北京版新教材数学高考第一轮 8.5　空间角与距离、空间向量及其应用 五年高考 真题过关练 1.(2023北京,16,14分,中)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=. (1)求证:BC⊥平面PAB; (2)求二面角A-PC-B的大小. 2.(2022北京,17,14分,中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分别为A1B1,AC的中点. (1)求证:MN∥平面BCC1B1; (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值. 条件①:AB⊥MN;条件②:BM=MN. 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 3.(2017北京理,16,14分,中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4. (1)求证:M为PB的中点; (2)求二面角B-PD-A的大小; (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 4.(2021北京,17,14分,中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,B1C1与平面CDE交于点F. (1)求证:F为B1C1的中点; (2)若M是棱A1B1上一点,且二面角M-FC-E的余弦值为,求的值. 5.(2018北京理,16,14分,中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2. (1)求证:AC⊥平面BEF; (2)求二面角B-CD-C1的余弦值; (3)证明:直线FG与平面BCD相交. 6.(2016北京文,18,14分,中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面PAC; (2)求证:平面PAB⊥平面PAC; (3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF 说明理由. 7.(2013北京理,17,14分,中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面ABC; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值; (3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.并求的值. 真题强化练 1.(2022全国甲,理7,文9,5分,中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则(　　) A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30° C.AC=CB1 D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 2.(2023全国乙理,9,5分,中)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形.若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 (　　) A. 3.(2023新课标Ⅰ,18,12分,中)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P. 4.(2023新课标Ⅱ,20,12分,中)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥DA; (2)点F满足,求二面角D-AB-F的正弦值. 5.(2023全国甲理,18,12分,中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 6.(2023天津,17,15分,中)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,N为线段AB的中点,M为线段BC的中点. (1)求证:A1N∥平面C1MA; (2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值; (3)求点C到平面C1MA的距离. 7.(2021全国甲理,19,12分,中)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小 8.(2020天津,17,15分,中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点. (1)求证:C1M⊥B1D; (2)求二面角B-B1E-D的正弦值; (3)求直线AB与平面DB1E所 ... ...