2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则( ) A. B. C. D. 2.如图所示的矩形中，，满足，为的中点，若，则的值为( ) A. B. C. D. 3.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 4.若，则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 5.如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 6.已知平面向量，则向量在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 7.设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是( ) A. ， B. C. 若，，则的最小值为 D. 若是关于的方程的根，则 10.如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则( ) A. 的体积为 B. 的体积为 C. 的外接球的表面积为 D. 平面截该正四棱柱所得截面的面积为 11.下列说法正确的是( ) A. 设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则 B. 设，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 C. 设，且，则 D. 若是内的一点，满足，则：： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两个平行平面截一个半径为的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为_____． 13.在中，三内角、、对应的边分别为、、，且，则面积的最大值为_____． 14.在中，角、、所对的边分别为、、，是的角平分线，若，，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，与的夹角为． 求； 若向量与相互垂直，求实数的值． 16.本小题分 已知复数． 求； 在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 17.本小题分 棱长为的正方体中，截去三棱锥，求： 求截去的三棱锥的表面积； 剩余的几何体的体积． 18.本小题分 已知为钝角三角形，它的三个内角、、所对的边分别为、、，且，，． Ⅰ求的值； Ⅱ若的面积为，求的最小值． 19.本小题分 如图：在正方体中，为的中点． 求证：平面； 上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：， 故． 故选：． 根据复数除法运算即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题． 2.【答案】 【解析】解：由题意可知，， ， 因为为的中点， 所以， 所以，，． 故选：． 由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求． 本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题． 3.【答案】 【解析】解：设圆锥的母线长为，底面圆半径为，球的半径为， 则，得， 又圆锥的高为，可得，， 圆锥的底面半径为，母线长为， ． 因此，球的表面积为：． 故选：． 由题中条件得出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径，再利用勾股定理可计算出圆锥的高，进而求出球的半径，最后利用球体体积公式可得出答案． 本题考查球体的表面积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题． 4.【答案】 【解析】解：由，得， 而，即得， 所以，又， 所以． 故选：． 先求出，再由向量的夹角公式求解即可． 本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，向量模的坐标表示，属于基础题． 5.【答案】 【解析】解：将 ... ...
