2024北京人大附中高一（下）统练一数学（PDF版含解析）

统练一 一、单选题 1．（2004·安徽·高考真题）已知集合M = a a = (1,2)+ 1 (3,4) , 1 R ， N = a a = ( 2, 2)+ 2 (4,5) , 2 R ，则M N 等于（ ） A． (1,1) B． (1,1) ,( 2, 2) C． ( 2, 2) D． 【答案】C 【解析】令 (1,2)+ 1 (3,4) = ( 2, 2)+ 2 (4,5)，由此可构造方程组求得 1, 2 ，代入可得 交点坐标，即为所求结果. 【详解】令 (1,2)+ 1 (3,4) = ( 2, 2)+ 2 (4,5)，即 (1+ 3 1,2 + 4 1) = ( 2 + 4 2, 2 + 5 2 ) 1+3 1 = 2+ 4 1 = 12 ，解得： M N = ( 2, 2) 2+ 4 1 = 2+ 5 2 2 = 0 故选：C 【点睛】本题考查集合交集的求解问题，关键是能够明确交集的定义，利用坐标相等构 造方程组求得结果. 2．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示， 用基底 a,b 表示 c，则（ ） A． c = 2a 3b B． c = 2a 3b C． c = 3a + 2b D．c = 3a 2b 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出a 、b 和 c ，并设c = ma + nb ，联立方程组求 出m和n即可. 【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为 1， 则 A(1,0),B(2,1),C (0,4), D(7,1) 所以 a = (1,1)，b = ( 2,3)， c = (7, 3)，设向量c = ma + nb ， 则 c = ma + nb = (m 2n,m + 3n) = (7, 3) 试卷第 1 页，共 13 页 m 2n = 7 m = 3 则 ， m+3n = 3 n = 2 所以 c = 3a 2b . 故选：D 3．（2006·山东·高考真题）设向量a = (1, 3),b = ( 2,4),c = ( 1, 2)，若表示向量 4a,4b 2c,2(a c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ） A． (2,6) B． ( 2,6) C． (2, 6) D． ( 2, 6) 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可. 【详解】由题可知：4a + 4b 2c + 2a 2c + d = 0， 即 d = 6a 4b + 4c = ( 6,18)+ (8, 16)+ ( 4, 8) = ( 2, 6) . 故选：D. 4．（2023·北京海淀·统考二模）已知a，b 是平面内两个非零向量，那么“ a∥b ”是“存在 0，使得 | a + b |=| a | + | b | ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若a∥b ，则存在唯一的实数 0，使得 a = b ，故 a + b = b+ b = + b ， 而 | a | + | b | = | b | + | b | = ( + ) b ， 存在 使得 + = + 成立，所以“ a∥b ”是“存在 0，使得 | a + b |=| a | + | b | ” 的充分条件， 试卷第 2 页，共 13 页 若 0且 | a + b |=| a | + | b |，则 a 与 b方向相同，故此时a∥b ，所以“ a∥b ”是“存 在 0，使得 | a + b |=| a | + | b | ”的必要条件， 故“ a∥b ”是“存在 0，使得 | a + b |=| a | + | b | ”的充分必要条件， 故选：C 5．（2024 上·湖南常德·高三统考期末）党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社 会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济， 预计2023年人均增加1000元收入，以后每年将在此基础上以10% 的增长率增长，则该 企业每年人均增加收入开始超过3000 元的年份大约是（ ） （参考数据： ln 3 1.10， ln10 2.30， ln11 2.40 ） A． 2030年 B． 2032年 C．2033年 D．2035年 【答案】D 【分析】从2023年起，第n (n N )该企业人均增加收入超过3000 元，求出第n年的人 均增加收入，可得出关于n的不等式，解之即可. 【详解】从2023年起，第n (n N )该企业人均增加收入超过3000 元， 因为从2023年起，每年将在此基础上以10% 的增长率增长， 所以，第n年该企业的人均增加收入为1000 1.1n 元，由1000 1.1n 3000，即1.1n 3， ln 3 ln 3 1.10 可得 ln1.1n = n ln1.1 ln3，所以，n = =11， ln1.1 ln11 ln10 2.40 2.30 故 2023+12 = 2035年 ... ...