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课件网) 函数的极值 庐山 问题引入 同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势。正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同“，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点。同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点。这就是我们今天要研究的函数的极值。 新知探索 函数极值概念的理解 问题 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 答案 在x1，x3，x5 处是山峰，在x2，x4处是山谷。 问题情境 观察下图中P点附近图象从左到右的变化趋势、 P点的函数值以及点P位置的特点． o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) 函数图象在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大。 定义 ，函数 y = f (x) 在任何一点的函数值都 不大于 点的函数值，则称点 为函数 y = f (x)的极 大值点，其函数值 为函数的极大值。 O x y a b 极大值 O x y a b 极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点 统称为极值点。 ，函数 y = f (x) 在任何一点的函数值都 不小于 点的函数值，则称点 为函数 y = f (x)的极 小值点，其函数值 为函数的极小值。 同理， 极小值 y a b x1 x2 x3 x4 O x 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点。 练习： y a b x1 x2 x3 x4 O x 问题1：你能找出函数的极小值点和极大值点吗？为什么？ 问题2：极小值一定比极大值小吗？上述图象, 观察图像回答下面问题： 不一定 ？ 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点。 a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 为极值点 x2， x2 x4 x4 为极大值点 为极小值点 （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小； 注意： o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； （4）极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点； （5）极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点。 y x O 探究1：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？ 结论: 极值点处，切线是水平的，即: f (x)=0。 x1 x2 x3 f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考: 若f (x0)=0，则x0 是否为极值点？ x4 f (x4)=0 x y O 分析y x3 f (x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点。 解：(1)f′(x)＝3x2－6x－9. 解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增 因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22. f (x)<0 y x O x1 a b y=f(x) 极大值点两侧 极小值点两侧 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 探究2:极值点两侧导数正负符号有何规律 x2 x X
x2 f (x) f(x) x Xx1 f (x) f(x) 增 f (x) >0 f (x) =0 f (x) <0 极大值 减 f (x) <0 f (x) =0 增 减 极小值 f (x) >0 口诀： 左正右负极大值 左负右正极小值 两侧同号无极值 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f’(x)=0的根 （3）用方程f’(x)=0的根，顺次将 ... ... 
