6.1.1 函数的平均变化率 第六章 导数及其应用 1.理解函数平均变化率的概念. 2.理解函数平均变化率的几何意义. 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 登泰山过程中，会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢.从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 假设一座山的剖面示意图如图所示，建立平面直角坐标系，A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示. 自变量x表示某爬山者的水平位置，函数值y=f(x)表示此时爬山者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2). (1)若爬山者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少? (2)根据y的改变量的大小能否判断山路的陡峭程度? (3)怎样用数量刻画弯曲山路AB的陡峭程度? (1)自变量x的改变量为x2-x1，记作Δx，函数值的改变量为y2-y1，记作Δy. (2)不能.山路的陡峭程度也与自变量x的改变量有关. (3)对于山路AB，可用Δ????Δ????=????2?????1????2?????1近似地刻画其陡峭程度. ? 概念讲解 一、函数的平均变化率 一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则称 Δx=x2-x1 为自变量的改变量；称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1)) 为相应的因变量的改变量；称 为函数y=f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率. (或 ） 思考：(1)Δx的取值一定是正值吗? (2)公式中，若将Δx改为x1-x2，则Δf是否还是f(x2)-f(x1)? (1)不一定.Δx可以为正，也可以为负. (2)若Δx=x2-x1，则Δf=f(x2)-f(x1)； 若Δx=x1-x2，则Δf=f(x1)-f(x2). 二、平均变化率的几何意义：如图所示，????(????2)?????(????1)????2?????1表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势. ? 概念讲解 练习：如图，函数y=f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率最大的一个区间是 . [x3，x4] 例1 已知函数f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 解析：因为x=2,Δx=0.1,所以Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2) =(2.12+1)-(22+1)=0.41. B 例2 求函数f(x)=3x2+2在下列区间上的平均变化率. (1)[x0,x0+Δx]； (2)以x0=2,Δx=0.3为端点的闭区间. 解：(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 Δ????Δ????=????(????0+Δ????)?????(????0)????0+Δ?????????0= 3(????0+Δ????)2+2?(3????02+2)Δ????=6x0+3Δx. (2)当x0=2,Δx=0.3时,函数y=3x2+2在区间[2,2.3]上的平均变化率为6×2+3×0.3=12.9. ? (1)先计算函数值的改变量Δy=y2-y1； (2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1； (3)最后求平均变化率Δ????Δ????=????2?????1????2?????1. ? 求函数平均变化率的步骤 归纳总结 问题1：已知函数y=f(x)的图象经过A(1，1)，B(3，9)两点，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率是多少呢?你能估计出当x=2时y的值吗? △????△????=9?13?1=4. 直线AB的方程为y-1=4(x-1)，即y=4x-3. 当x=2时，y=5，故估计y的值为5. ? 0≤t≤0.5时，????=?(0.5)??(0)0.5?0=4.05(m/s)；1≤t≤2时，????=?(2)??(1)2?1=-8.2(m/s)； 0≤t≤6549时，????=?6549??(0)6549?0=0(m/s)； 虽然运动员在0≤t≤6549这段时间里的平均速度是0 m/s， 但实际是该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态. ? 问题2：在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5， 1≤t≤2，0≤t≤6549内的平均速度吗？ ? ... ...
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