2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练--圆综合中推导特殊角专项训练（八）（含答案）

2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练 圆综合中推导特殊角专项训练（八） 特殊角：30°，45°，60° 1．如图， 与等边 的边 ， 分别交于点D，E， 是直径，过点 作 于点F. （1）求证： 是 的切线； （2）连接 ，当 是 的切线时，求 的半径r与等边 的边长a之间的数量关系. 2．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，点O在边AB上，且，以O为圆心，OB长为半径的圆分别交AB，BC于D，E两点． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）判断由D，O，E及切点所构成的四边形的形状，并说明理由． 3．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，∠A＝∠PDB． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AB＝6，DA＝DP，试求的长； （3）如图2，点M是弧AB的中点，连接DM，交AB于点N，若tanA＝，求的值． 4．如图， 是 的切线， 是直径， 是弦，连接 ，且 . （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，连接 ， 的平分线交 于点 ，求 的值. 5．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，且∠D=2∠A． （1）求∠D 的度数； （2）若⊙O 的半径为 m，求 BD 的长. 6．如图，在 中， . （1）尺规作图：作出经过A，B，C三点的 .（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AO并延长，交 于点D，连接DB，DC. ①求证： ； ②将 沿AD折叠，点C的对应点为 ，当 ▲ °时，四边形 为菱形. 7．如图，在 中， 的平分线AD交BC于点E，交 的外接圆 于点D.过点D作 的切线DF，连接BD. （1）求证： . （2）若 ， . ①当 时，求线段 的长为　 　. ②当四边形OCDB为平行四边形时， 的半径等于　 　. 8．如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F. （1）求证：BD＝BE； （2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长. （3）设 ＝m，tan∠DAE＝n.求n关于m的函数表达式. 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AC上一点，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，弦DE⊥AC于点F，连接CE. （1）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径； （2）若CE∥AB，求sinA的值. 10．如图，在△ABC中，∠C = 90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D. （1）若∠B = 24°，求 的度数； （2）若D是AB的中点，AB = 3，求阴影部分的面积； （3）若AD·AB= 12，求AC的值. 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AB＝6，BD＝5 ，求CP的长. 12．如图，O为等边 的外接圆，D为直径 延长线上的一点，连接 ， . （1）求证： 是⊙O的切线； （2）若 ，求阴影部分的面积. 参考答案 1．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示， ∵等边 ， ∴∠A=∠B=60°， ∵ ， ∴△AOD为等边三角形， ∴ ， ∴OD∥BC， ∵ ， ∴∠CFD=∠FDO=90°， ∵OD是半径， ∴ 是 的切线； （2）解：连接DE，如图所示， 由（1）可得 是 的切线，∠FDO=90°，△AOD为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ∴△FDE是等边三角形， ∴DE=DF， ∵ ， 是直径， ∴ ， ∴△CDF≌△AED（AAS）， ∴AE=CD=2r， ∴ ， ∵ ， ∴ . 2．【答案】（1）证明：作OF⊥AC于F，如图， ∵∠C=90°，AB=2BC， ∴sinA=， ∴∠A=30°， ∴OA=2OF， ∵BO=AB， ∴OA=2OB， ∴OF=OB， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：四边形ODFE为菱形．理由如下： ∵∠A=30°， ∴∠AOF=∠B=60°， ∴△OFD和△OBE都是等边三角形， ∴OD=DF，∠BOE=60°， ∴∠EOF=180°-60°-60°=60°， ∴△OEF为等边三角形， ∴EF=OE， ∴OD=DF=EF=OE， ∴四边形ODFE为菱形． 3．【答案】（1）证明：如图所示，连接OD ∵AB是 ... ...