数学-2023~2024学年度苏锡常镇高三教学情况调研（二）（PDF版含答案）

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学（参考答案） 2024. 5 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B C D A D 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分． 题号 9 10 11 答案 BCD ABD AC 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12． y 1或 3x 4y 5 0 13． 19 14．4，1 四、解答题：本题共 5小题，共 77分． 15．（13分） 【法一】 （1）证明：在直棱柱 ABC A1B1C1中， B1B 面 ABC，则面 BB1CC1 面 ABC， ……2分 面 BB1CC1 面 ABC BC， AB 面 ABC， AB BC， 所以 AB 面 BCC1B1 . ……4分 因为 AB // A1B1，所以 A1B1 面 BCC1B1 . 则 A1C在面 BCC1B1的射影为 B1C， 在正方形 BCC1B1中，有 BC1 B1C. 所以由三垂线定理得： BC1 A1C. ……6分 ABC A B 1 1（2）解：直三棱柱 - 1 1C1的体积为V AB BC AA1 2 1 AA 1，2 2 1 则 AA1 1 . ……7分 高三数学答案 第 1页（共 8页） 由（1） A1B1 平面 BCC1B1， BC1 平面 BCC1B1，则 A1B1 BC1， 在正方形 BCC1B1中， B1C BC1，且 A1B1，B1C 平面 A1B1C， A1B1 B1C B1 ，所以 BC1 平面 A1B1C . ……8分 设 B1C BC1 O， 在△ A1B1C中，过O作OH A1C于H ，连接 BH . 因为 OH为 BH在面 A1B1C的射影，由三垂线定理得： A1C BH. 所以 BHO为二面角 B1 A1C B的平面角. ……10分 CO CA 因为 Rt△COH ∽Rt△CA1B 1 3 1， OH A1B ，得OH ， 1 3 Rt BOH BO 2 BH 30又在 △ 中， ，得 ， ……12分 2 6 3 cos BHO OH 3 10 . BH 30 5 6 10 所以二面角 B1 A1C B的余弦值为 . ……13分 5 【法二】直三棱柱 ABC - A BC V 1 AB BC AA 11 1 1的体积为： 2 1 2 1 AA 1，则 2 1 AA1 1 . ……1分 （1）证明：直棱柱 ABC A1B1C1 ， BB1 平面 ABC，又 AB BC ， 以 B为原点，BC为 x轴，BA为 y轴， BB1为 z轴，建立空间直角坐标系.…2分 B(0,0,0)， B1 (0,0,1)，C(1,0,0)， A1(0, 2,1)，C1(1,0,1) . BC1 (1,0,1)， A1C (1, 2, 1)， ……4分 高三数学答案 第 2页（共 8页） BC1 A1C 1 1 0 ( 2) 1 ( 1) 0 ，所以 BC1 A1C. ……6分 （2） B(0,0,0)， B1 (0,0,1)，C(1,0,0)， A1(0, 2,1)，C1(1,0,1) . BC (1,0,0)， BA1 (0,2,1)，设平面 BCA1的法向量 1 (x1, y1, z 1)， 1 BC x1 0， 则 取 y1 1，得 1 (0,1, 2) . ……8分 1 BA1 2y1 z1 0， B1C (1,0, 1)， B1A1 (0,2,0)，设面 B1CA1的法向量 2 (x2 , y2 , z 2 )， 2 B 1 C x2 z2 0， 则 取 x2 1，得 2 (1, 0,1) . ……10分 2 B1A1 2y2 0， 设二面角 B1 A1C B的大小为 ，则： | | | cos | | cos , | 1 2 | 2 | 10 1 2 . ……12分 1 2 5 2 5 因为 为锐角，所以二面角 B1 A1C B 10 余弦值为 . ……13分 5 16.（15分） （1）解： 阅读 性别 合计 一般 爱好 男生 10 15 25 ……2分 女生 13 12 25 合计 23 27 50 提出假设H0 ：是否喜爱阅读与性别没有关系． ……3分 根据列联表的数据，可以求得： 2 2 50(10 12 13 15) 0.725 2.706， ……5分 25 25 23 27 所以没有 90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. ……7分 （2）随机变 X 服从超几何分布 H (3,2,6)， X 可能取 0，1，2. ……8 高三数学答案 第 3页（共 8页） 分 0 P X C C 3 1 C1C 2 3 C 2C1( 0) 1 2 43 ，P(X 1) 2 4 3 ，P(X 2) 2 4 3 . ……11分C6 5 C6 5 C6 5 则 X 的分布列为： X 0 1 2 1 3 1 P 5 5 5 1 3 1 所以 E(X ) 0 1 2 1. ……14分 5 5 5 答：抽取男生人数的数学期望为 1． ……15分 17.（15分） x 解：（1 e 1）因为函数的定义域为 (0, )，当 a 0时， f (x) . x 要证 f (x) 1，只需证：当 x 0时，ex x 1. ……1分 令 p(x) e x x 1，则 p (x) ex 1 0， 则 p(x)在 x (0, )单调递增， ……3分 所以 p(x) p(0) 0，即 ex x 1. ……5分 ( ... ...