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课件网) 菏泽外国语学校 聂张坤 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 第七章 复数 数学来源于生活，高于生活。 思考？ 学习目标： 1、了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程 2、理解在数系扩充中由实数集到复数集出现的基本概念 3、掌握复数的表示方法、分类及复数相等的充要条件 学习目标 对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根。因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决。 事实上，早在古希腊时代，数学家在研究解方程问题时就遇到了负实数开平方的问题，但他们一直在回避。直到1545年，意大利数学家卡丹在用求根公式，因式分解两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果...... 一、创设情境，引入新知 解方程： 方法1： 用三次方程求根公式（卡丹公式） 解得： 方法2： 用因式分解 解得： 得到： 16世纪 数学家的困惑 一、创设情境，引入新知 问题1从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程 （a＞0）有没有解的问题。能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题呢？ 追问x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？ 二、创设情境，合作探究 远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，历经漫长的岁月，创造了自然数，自然数集记为N。自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地。自然数的加法与乘法满足交换律、结合律及分配律。 随后为了表示具有相反意义的量，负数的概念就出现了，我国是认识正负数最早的国家，《九章算术》中就有了正负数的记载。负数概念引进后，就把数集扩充到整数集Z，运算法则同样适用。 随着历史的发展，为了公平分配物质印度人引进了分数，但分数的确切定义，科学表示及分数算法，都是中国最早提出的。分数运算也满足加法与乘法的运算律。分数概念引进后，就把数集扩充到有理数集Q，运算法则同样适用。 公元前几百年，希腊人发现边长为1的正方形和正五边形对角线的长都不是分数，从此人们知道了世间还存在另一类数无理数。有理数集与无理数集合并在一起就构成实数集R。 数系的每一次扩充，都是基于两个方面的原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要。 阅读 自然数集 整数集 有理数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方体对角线等问题 引入了 无理数 计数的需要 引入了 自然数 从社会生产实践的需要来看 自然数 负整数 整数 无理数 有理数 分数 实数 随着社会发展，数系在不断扩充． 二、创设情境，合作探究 从数学自身发展的需要来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解； 数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ （1）在自然集中求方程x+1=0的解； 二、创设情境，合作探究 数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？ 如果没有运算，数只是孤立的符号！ 有理数集 实数集 引入了无理数 运算 运算律 + （—） ×（ ÷） + （—） ×（ ÷） 交换律 结合律 分配律 交换律 结合律 分配律 数系扩充规则： 数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 二、创设情境，合作探究 问题2类比从自然数集到实数集的扩充过程，特别是从有理数集到实数集的扩充过程，你能设想一种方法，使方程x2+1=0有解吗？ 我们可以引入一个数“i”，使i2=-1， 这 ... ...
