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课件网) 第17章 一元二次方程 * 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系。（重点） 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。（难点） 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 知识讲解 填写下表，然后观察根与系数的关系： 方程 x2+2x-15=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0 x1 x2 x1+x2 x1x2 两个根 两根 之和 两根 之积 a与b之间关系 a与c之间关系 b a - c a 3 -5 -2 -15 -2 -15 1 1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 -2 1 2 3 2 - -1 3 2 - -1 根据你的观察，猜想：方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根如果是 x1，x2， 那么 x1+x2= ， x1x2= . b a - c a 你能证明上面的猜想吗？ 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式.由此可知，方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q。 1.二次项系数为1，能因式分解的一元二次方程 知识讲解 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 2.一般的一元二次方程 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0 时有两个根： x1+x2 = x1x2 = 知识讲解 如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两根实数根x1，x2，那么 。 3.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 知识讲解 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2＋7x＋6＝0； 解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6。 Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0. ∴方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－7，x1x2＝6。 例题解读 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (2)2x2－3x－2＝0。 例题解读 例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值。 思路：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值。 例题解读 例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值。 例题解读 若待定字母在一次项中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之和的关系求待定字母的值； 若待定字母在常数项中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值。 归纳总结 1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2－6x－15＝0； (2)3x2＋7x－9＝0； (3)5x－1＝4x2。 解： 随堂演练 2. 若实数x1，x2满足x1+x2=3,x1x2=2,则下列一元二次方程以x1，x2为根的是( ) A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=0 A 3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p= , q= 。 1 -2 4.下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2的是（ ） A.x2-2x+2=0 B.x2-2x+2 022=0 C.x2-2x-2 022=0 D.x2+2x-2=0 C 没有实数根。 没有实数根。 两个实数根的和为2。 两个实数根的和为-2。 5.已知关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是x=0,试确定m的值并求该方程的另一个根。 6.关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根。 (1)求m的取值范围; (2)若方程有一根为4,求方程的另一根。 7.若p,q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，则p2+3p- ... ...
