中小学教育资源及组卷应用平台 备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用） 专题29 点动问题 考点扫描聚焦中考 动态几何中的点动问题在近几年各地中考中以选择题、填空题、解答题的形式考查，有一定的难度，属于压轴题，考查的知识点涉及三角形、四边形、圆等，考查的热点主要有单动点问题和双动点问题。 考点剖析典型例题 例1 （2022 大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S． （1）求AC的长； （2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）AC＝8； （2）当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣． 【点拨】（1）根据勾股定理可求出BD，根据AD＝BD进而求出AC， （2）分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示PD、PE、PQ，由三角形面积之间的关系可得答案． 【解析】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3， ∴BD＝＝5， 又∵AD＝BD， ∴AC＝AD+CD＝5+3＝8； （2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时重叠部分的面积就是△PQD的面积， ∵PQ⊥AC，BC⊥AC， ∴PQ∥BC， ∴△ABC∽△AQP， ∴＝＝＝2， 设AP＝x，则PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x， ∴S重叠部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x ＝﹣x2+x； 当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2， 由（1）得，AP＝x，PQ＝x，则PD＝x﹣5， ∵PQ∥BC， ∴△DPE∽△DCB， ∴＝＝， ∴PE＝（x﹣5）， ∴QE＝PQ﹣PE＝x﹣（x﹣5）＝﹣x+， ∴S重叠部分＝S△DEQ ＝（x﹣5）×（﹣x+） ＝﹣x2+x﹣； 答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣． 【点睛】本题考查勾股定理，函数关系式以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，求出相关三角形的边长是解决问题的关键． 例2（2021 河池）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的⊙O交BC于点F． （1）当AD＝DF时，求证：△CAD≌△CFD； （2）当△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形时，求AD的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）AD的长为或． 【点拨】（1）因为BD是⊙O的直径，所以∠DFB＝90°，利用“HL“证明Rt△CAD≌Rt△CFD； （2）因为△CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于△DEB是直角三角形，所以D和F都可能为直角顶点，故需要分两类讨论，我们选择按照D和F为直角顶点分两类讨论更简单，当∠EDB＝90°时，∠DEB＜90°，∠CED是钝角，所以此时只能构造EC＝ED的等腰三角形，故取点D使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以证明DE＝DC，且DE∥AC，得到△BDE∽△BAC，设DE＝DC＝x，利用相似三角形对应边成比例，列出方程并求解，即可解决，当∠DEB＝90°时，如图2，则∠AED＝90°，若△CED为等腰三角形，则∠ECD＝∠EDC＝45°，即EC＝DC，可以利用三角函数或相似来求AD的长度． 【解析】证明：（1）∵BD为⊙O直径， ∴∠DFB＝90°， 在Rt△ACD与Rt△FCD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△FCD（HL）， 解：（2）∵△DEB是直角三角形，且∠B＜90°， ∴直角顶点只能是D点和E点， ①若∠EDB＝90°， 如图1，在AB上取点D，使CD平分∠ACB，过D作DE⊥AB交BC于E， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠ECD， ∵∠CAB＝∠EDB＝90°， ∴AC∥DE， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE， 此时△ECD为E为顶角顶点的等腰三角形，△DEB是以D为直角顶点的直角三角形， 设CE＝DE＝x， 在直角△ABC中，BC＝＝5， ∴BE＝5﹣x， ∵DE∥AC， ... ...
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