轴对称的性质与应用考点培优练习 考点直击 1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫作对称点. 2.轴对称图形 把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴. 3.垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 4.轴对称性质 (1)成轴对称的两个图形全等； (2)如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线段的垂直平分线； (3)成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称； (4)成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上. 5.线段的对称性 (1)线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴； (2)线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； (3)到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 6.角的对称性 (1)角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴； (2)角平分线上的点到角的两边距离相等； (3)角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上. 例题精讲 例1 (仙游统考)已知：如图， ,且 F 是CD的中点,求证:∠B=∠E. 举一反三1 (成都统考)(1)请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表. 正多边形的边数 3 4 5 6 8 对称轴的条数 3 4 5 (2)请写出正多边形的对称轴的条数 y 随正多边形的边数 变化的关系式: . 举一反三2 已知△ABC 为等边三角形,D 为 AC 的中点, 120°,DE交线段AB于点E,DF 交线段BC于点 F. (1) 如图1,求证:DE=DF. (2) 如图2,若BE=3AE,求证: (3) 如图3,若 则 在图1中，若 则CF= BC. 例2 如 图,已知A(-2,4),B(4,2),C(2,-1). (1) 作 关于x轴的对称图形 ，写出点 C 关于x 轴的对称点 的坐标； (2)P 为x轴上一点，请在图中画出使 的周长最小时的点 P，并直接写出此时点 P 的坐标. 【思路点拨】(1)根据关于x 轴对称点的坐标特点得到. 各顶点的坐标，然后描出各点，最后顺次连接即可；(2)作点A 关于x轴的对称点. 连接 交x轴于点P. 举一反三3 (重庆统考)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，请按要求分别完成下列各小题： (1) 写出. 三个顶点的坐标； (2) 画出 关于x轴对称的 点 的坐标是 ； (3) 画出. 关于y轴对称的. 点 的坐标是 ； (4) 求 的面积. 举一反三4 (北京统考)请按要求完成下面三道小题. (1) 如图1, .这两条线段一定关于某条直线对称吗 如果是，请画出对称轴a(尺规作图，保留作图痕迹)；如果不是，请说明理由. (2)如图2，已知线段 AB 和点C.作线段CD(不要求尺规作图)，使它与AB成轴对称，且A 与C 是对称点，标明对称轴b，并简述画图过程. (3) 如图3,任意位置的两条线段AB,CD, .你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗 如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由. 举一反三5如图，在平面直角坐标系的网格中，其最小正方形的边长为1个单位长度， 的顶点都在格点上. (1) 作出 关于x轴对称的图形. 并写出 三个顶点的坐标； (2) 判断 的形状，并简单加以说明. 例3 (无锡统考)如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离 千米， 千米，且( 千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为3万元每千米. (1)请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少(不写作法，保留作图痕迹). (2)最低费用为多少 举一反三6 如图，在直角坐标系中，点A、B 的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C 是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上. (1) 求出 AB 的长; (2)求出 的周长的最小值. 举一反三7如图， 是边长为 2的等边三角形，D 是AB 边的中点，P 是 BC 边上的动点，Q 是AC 边上的动点，当 P，Q 的位置在何处时， 的周长最小 求出 ... ...
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