中小学教育资源及组卷应用平台 专题九 路径与最值05 最长的弦选填题压轴题 在解决关于路径与最值的问题时，我们需要了解一些基本的概念和定理。特别是当涉及到圆的问题时，我们知道直径是圆中最长的弦，这是解决此类问题的一个重要依据。在圆中，直径是最长的弦。这个定理在几何学中是非常基础的，它告诉我们，无论圆的大小如何，直径的长度总是大于或等于其他任何长度的弦。这个定理在解决最值问题时非常有用，因为它为我们提供了一个比较的标准。 在解决最值问题时，我们可以利用直径是圆中最长的弦这一特性。例如，如果我们想要找到某个点到圆上某一段距离的最小值，我们可以把这个点到圆心的距离加上圆的半径，这样就得到了一个长度大于或等于任何其他可能的弦的长度。同样，如果我们想要找到某个点到圆上某一段距离的最大值，我们可以把这个点到圆心的距离减去圆的半径，这样就得到了一个长度小于或等于任何其他可能的弦的长度。 最值路径问题是指在满足某些条件的情况下，寻找某个量的最大值或最小值的问题。在解决这类问题时，我们通常需要构建一个模型来描述问题，并利用数学方法来求解。例如，在一个二维平面上，如果我们知道一个点到两个固定点的距离，我们可以通过旋转这两个固定点来改变它们之间的距离，然后通过求解一个二次函数来找到使这个量达到最大或最小的旋转角度。 题型一 【利用直径是圆中的最长弦解题】 【典例指引1】（2021·浙江杭州·三模）如图，与的边相切，切点为点，并分别与、边相交于、点，，过点作交于点，若的半径不变，则的最大值为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由两角对应相等可判定，由此得到，变形得到，由勾股定理得到，可得，推断出的最大值是直径的平方，再由，点、在上，推出是的直径，再根据勾股定理即可得解． 【详解】解：连结, ， ， ， , 又， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 最大值是是直径时， 的最大值是直径的平方， ， ， 点、在上， 是的直径， ， 是直径的平方， 的最大值可表示为：， 故选：． 【点睛】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 【变式训练1】（2023·浙江温州·模拟预测）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值． 【详解】解：连接，，如图， ， 为的直径， 点在上， ， ，，，，， 设， ， 而表示点到原点的距离， 当为直径时，点到原点的距离最大， 为平分， ， ， ， 即 ， 此时， 即的最大值是6． 故选：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键． 【变式训练2】（2024·浙江台州·模拟预测）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（ ） A．﹣1 B．+1 C．3.2 D．3 【答案】B 【分析】由矩形的性质得出∠D＝90°，CD＝AB＝8，由勾股定理得出AC＝＝10，设△AD的内切圆O的半径为r，则×10r+×8r+×6r＝×8×6，解得r＝2，连接BQ，易证PM是△BCQ的中位线，得出PM＝BQ，当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最长，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，则BF＝AB﹣AF＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝4，由勾股定理得出BO＝，则BQ＝BO+OQ＝，即可得出结果． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，CD＝AB＝8， ∴AC＝＝＝10， 设△AD的内切圆O的半径为r， 则×10r+×8r+×6r＝ ... ...
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