(
课件网) 第22章 一元二次方程 22.2.4 一元二次方程根的判别式 配方法 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 公式法 公式 注意 步骤 a ≠ 0 Δ = b2 4ac≥0 1. 变形 2. 定数 3. 判定 4. 计算： 问题1 不解一元二次方程，判断根的情况？ 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. (1) b2－4ac ＞0， 则方程有两个不相等的实数根 (2) b2 - 4ac = 0， 方程有两个相等的实数根 (3) b2 - 4ac ＜0， x1 = x2 = - . 方程无实数根. 我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 4ac. 知识要点1 反之，同样成立！ 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 时，方程没有实数根. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 典例讲解 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况 （1）3x 2 =5x - 2 （2） 解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0 因为 =(-5)2-4×3×2=1>0, 所以方程有两个不相等的实数根。 (2)因为 = 所以方程有两个相等的实数根 （3）4(y2+1)-y=0 (3)原方程可变形为4y2-y+4=0 因为 =(-1)2-4×4=-15<0 所以方程没有实数根。 例2 已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根； (3)当k取何值时，方程没有实数根； 解：a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k =[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9 （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴16k+9>0，解得k>- （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴16k+9=0，解得k=- （3）∵方程没有实数根， ∴16k+9<0，解得k<- 知识要点2 一元二次方程的根的情况的判断的步骤 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.定系:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: 确定b2-4ac的符号; 4.判断：b2-4ac >0 两个不相等的实数根; b2-4ac =0 两个相等的实数根; b2-4ac<0 没有实数根. 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x 3 = 0； 解：（1）a = 3，b = 4，c = 3， ∴ Δ = b2 4ac = 42 4×3×( 3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （2）4x2 = 12x 9； （2）方程化为 4x2 12x + 9 = 0，a = 4，b = 12，c = 9， ∴ Δ = b2 4ac = ( 12)2 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． （3）7y = 5( y2 + 1 ). （3）方程化为 5y2 7y + 5 = 0，a = 5，b = 7，c = 5， ∴ Δ = b2－4ac = ( 7)2－4×5×5 = 51＜0. ∴ 方程没有实数根． 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 Δ= b2 4ac > 0 Δ= b2 4ac = 0 Δ = b2 4ac< 0 Δ= b2 4ac≥0 注意：1.一元二次方程化为一般式 2. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 1.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 A 2.下列方程中，没有实数根的是( ) A．x2－4x＋4＝0 B．x2－2x＋5＝0 C．x2－2x＝0 D．x2－2x－3＝0 B 根的情况 3.按要求完成下列表格： Δ 的值 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 4.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2 + 3x 4 = 0 解：（1）a = 2，b = 3，c = 4， ∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0. ∴ 方程有两个不等的实数根． 4.不解方程，判断下列方程的根的情况： （2）x2 x + = 0； 解：(2)a = 1，b = 1，c = ， ∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 4.不解方程，判断下列方程的根的情况： （3） x2 x + 1 = 0. 解：（3）x2 x + 1 = 0，a = ... ...
