教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 等边三角形（第二课时） 教科书 书 名：数学教材 -出卷网-：人民教育-出卷网- 出版日期：2013年6月 教学目标 1. 探索并理解含30°角的直角三角形的性质．培养学生用规范的几何语言进行表达的习惯和能力。 2. 理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算。 教学内容 教学重点： 1. 探索并理解含30°角的直角三角形的性质。 2. 含30°角的直角三角形的性质的应用。 教学难点： 1. 含30°角的直角三角形性质的探索与证明。 教学过程 一：问题探究 让学生自己动手通过两个数学小实验探究含30°角的直角三角形性质 问题1 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，能产生什么样的特殊图形？ 问题2 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 设计意图：提出问题．创设情境，导入新课． 二：探究新知 通过实验得出猜想： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 证明这一猜想： 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． 方法一：倍长法 证明：延长BC 到D，使BC=CD，连接AD， ∵ ∠C =90° ∴AC⊥BD∴AB=AD 又∵∠A =30°, ∴∠B =60° ∴△ABD 是等边三角形 ∴AB=BD=2BC ∴BC = AB 方法二：截半法： 证：在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30° ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴BC = AB 于是我们得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 用几何语言表示： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝AB． 设计意图：学生经历折叠等边三角形纸片和拼摆三角板的活动，发现结论，引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明，培养学生的语言转换能力，增强理性认识，体验性质的正确性，提高演绎推理的能力． 三：典例解析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( ) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 解析：在Rt△ABC中， ∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°. 在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm， 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm. ∴AB的长度是12cm.故选D. 注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． 例2．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上， OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5， 则OM的长度为 ． 解析:作PC⊥OB∵PM=PN，∴MC=NC=1/2MN=2.5， 又∵∠AOB=60°∴∠OPC=30°. 在Rt△OPC中，OP＝2OC＝6， OM=OC-MC=3.5∴OM的长度是3.5. 方法总结：含30°角的直角三角形与等腰三角形的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形． 四：巩固提升 如图，已知△ABC是等边三角形，D、E 分别为BC、 AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q, 求证:BP=2PQ. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60° ∵CD=AE， ∴△ADC≌△BEA. ∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°， ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD， ∴∠BQP=90°， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ. 方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质． 五：梳理小结 ... ...
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