2024年中考数学精选压轴题之圆(二)

2024年中考数学精选压轴题之圆(二) 一、实践探究题 1．（2024九下·余杭月考）已知点，，，是上的四个点，且弦，于点. （1）如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程. （2）如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长. （3）如图3，若，，，，连结，求的度数. 【答案】（1）解：∵A是的中点，∴AE＝AF， 在△AEC和△AFB中， ∵AE＝AF，∠AEC＝∠AFB，EC＝BF， ∴△AEC≌△AFB，∴AC＝AB， 又∵AM⊥EB，∴MC＝MB，所以EC＋CM＝BM＋BF， 即EM＝BM＋BF． （2）解：∵∠BEA＝45°，AE＝20， ∴EM＝ ， ∴MB＋BF＝， ∵△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝20， ∴△BEF周长＝． （3）解：在EB延长线上截取BC＝BF＝19， 连结AC，AF，FC， 不妨设∠AEB＝α，则∠AFB＝α， ∵EB＝25，BM＝3，∴EM＝MC＝22 ， ∵MA⊥EB， ∴EA＝AC，∠AEB＝∠ACB＝α ， ∵BC＝BF，∴∠BFC＝∠BCF， ∴∠AFC＝∠ACF，AF＝AC， 又∵EA＝AC，∴AE＝AF，且∠EBF＝58°， ∴∠AEF＝61°． 【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）根据点A是的中点 ，得到AE=AF，根据全等三角形的性质得到AC=AB，求得MC=MB，于是得到结论. （2）根据等腰直角三角形的性质得到EM＝，求得MB＋BF＝，根据等边三角形的性质得到EF＝AE＝20，于是得到△BEF周长＝. （3）在EB延长线上截取BC＝BF＝19，连结AC，AF，FC，设∠AEB＝α，∠AFB＝α，求得EM＝MC＝22 ，根据等腰三角形的性质得到EA=AC，∠AEB=∠ACB，AF=AC，求得AE=AF，进而结合∠EBF＝58°可求出∠AEF的度数. 2．（2024·廉江模拟）综合探究 如图1，是的内接三角形，是上的一点，连接交于点，点在上，满足，交于点，，连接． （1）求证：． （2）求证：． （3）如图2，为的直径，设，当的长为2时，求的长． 【答案】（1）证明：，，，，． （2）证明：由（1），得． ，． ，． 在和中，． （3）解：，，， ，， ． 是的直径，， ， 与所对的圆心角的度数之比为，与的长度之比为． 的长为2，的长为3． 【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠BPN，利用三角形外角的性质可知∠ANB=∠BPN+∠PBN，结合已知可证得∠PBN=∠PNB，利用等角对等边可证得结论. （2）利用平行线的性质可证得∠CAP=∠PNQ，可推出∠PNQ=∠PBM，利用SAS可证得结论. （3）利用全等三角形的性质可证得∠NPQ=∠BPM=∠ACB=α，PM=PQ，由此可表示出∠BPQ，∠PQM，∠PBQ，利用圆周角定理可证得∠ABP=90°，可表示出∠ABC，再根据与所对的圆心角的度数之比为，可得到与所的长度之比为，据此可求出的长. 3．（2024九下·阎良开学考）【定义新知】 如图1，是上两点，且在直径的上方，若直径上存在一点，连接，满足，则称是的“幸运角”． （1）【问题探究】如图2，是的直径，弦是上的一点，连接交于点，连接． ①是的“幸运角”吗？请说明理由； ②设所对的圆心角为，请用含的式子表示的“幸运角”的度数； （2）【拓展延伸】如图3，在（1）的条件下，若直径，的“幸运角”为，，求的长． 【答案】（1）解：①是的“幸运角”． 理由：是的直径，弦， ， ． ， ， 是的“幸运角”． ②所对的圆心角为， ． ， ， ， 的“幸运角”的度数为． （2）解：连接，如图3， 的“幸运角”为， ． 由（1）知， ，则． ， ， ． 设，则， ， 解得：， 或． 【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）①∠CPD是弧CD的“幸运角”；理由：由垂径定理和线段的垂直平分线的性质以及等边对等角可得∠CPA=∠EPA，结合对顶角相等和 ... ...