中小学教育资源及组卷应用平台 专题18. 相似三角形重要模型--（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC ＝＝. 2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB ＝＝. 3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC 例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____． 【答案】8 【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC，，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线， 所以DE∥BC，所以△ADE∽△ABC∴ ∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案为：8． 【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握． 例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片中，，，，若沿的垂直平分线线前下，则的长为 ． 【答案】 【分析】勾股定理求得，根据垂直平分线的性质得出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】在中，，，，∴， ∵是的垂直平分线，∴，，∴， 又∵，∴∴,∴ 解得：,故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 例3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可． 【详解】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x， ∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB， ∴，即，∴， ∴AD+BE=AB-DE==， ∵AC=BC，∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°， ∴△ADG≌△BEF（AAS），∴AD=BE==， 在△BEF中，，即， 解得：x=或（舍），∴EF=，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长． 例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC； ∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,，∴． 例5. （2022 安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF； （2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形； （3）若AE＝AF＝1，求+的值． 【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△ABC的中位线，进而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的 ... ...
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