专题20. 相似模型--梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型-2024年中考二轮复习-必考几何模型专项突破（全国通用）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题20. 相似模型--梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型 梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线． 图1 图2 塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则 。 注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 例1.（2023·广东·九年级期中）如图，在中，D为AC中点，，求证：． 例2.（2023·绵阳市·九年级月考）如图，在中，AD、CE交于点F，若，，求． 例3.（2023·福建·九年级期中）如图所示，内三个三角形面积分别5，8，10，四边形AEFD的面积为x，求x的值． 例4.（2023·重庆·九年级期中）已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG． 例5.（2023·浙江·九年级期中）如图，在中，的外角平分线与边BC的延长线交于点P，的平分线与边CA交于点Q，的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线． 例6．（2023·山西·期中联考）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足． 这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据）， ∴，∴，即． 情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．… (1)情况①中的依据指：　　 ；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明； (3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　 例7．（2023·广东·九年级月考）如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：． 例8. （2023·湖北·九年级期中）如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。 例9.（2023·成都·九年级统考期中）如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：. 例10．（2023·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务． 塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则． 任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点； （2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长． 课后专项训练 1．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（　　） A． B．2 C． D． 2.（2023. ... ...