《4.3.1任意角的三角函数定义》教学设计 学习目标 知识 能力与素养 理解任意角的三角函数的定义及定义域. ⑴ 会利用定义求任意角的三角函数值； ⑵ 培养学生的观察能力． 学习重难点 重点 难点 任意角的三角函数的概念. 利用定义求任意角的三角函数值 教材分析 本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位，并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用. 学情分析 在前面的学习中，学生在初中学习了角度制度量角的大小，还学习了角度制下的弧长公式。大部分学生已经熟练掌握了角度值的知识，为学生学习弧度制打下基础，作为高一的学生，学生已具备一些基本数学能力，有了一定的数学素养，这对学习很有帮助. 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 在义务教育阶段，我们学习了锐角三角函数，在RtΔABC中， （一）创设情境，生成问题 情境与问题 角的概念推广之后, 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数如何定义呢？ 【设计意图】借助原有知识为新知学习做好铺垫，体会从特殊到一般的思想方法. （二）调动思维，探究新知 设角α为平面直角坐标系Oxy 中的任意一个角, 在其终边上任取与原点O不重合的一点P(x,y) , 则 |OM|＝ |x|, |MP|＝ |y|． 点P到原点O的距离 由相似三角形的性质可知：比值只依赖于 角α的大小, 与点P在角α终边上的位置无关. 对任意角α，有如下定义： 称为角α的正弦，记作sin α，即sin α=， 称为角α的余弦，记作cos α，即cosα=， 称为角α的正切，记作tan α，即tanα=. 可以看出, 对于每一个确定的角α , 都有唯一确定的正弦值、余弦值和正切值与之对应. sinα与cosα是以角α为自变量的函数, 分别称为正弦函数与余弦函数, 它们的定义域都是R. 当时, tanα也是以角α为自变量的函数, 称为正切函数, 其定义域为,正弦函数、余弦函数和正切函数都是三角函数. 【设计意图】将锐角三角形中的三条边与点的坐标对应起来，帮助学生更加直观的认识问题. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】已知角 α 的终边经过点P(-4,3) , 求角α的正弦、余弦和正切． 解 因为x=-4, y=3, 所以由三角函数定义, 得 sin α=， cosα=， tanα=. 【典例2】 求终边在射线y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切. 解 在射线y=2x(x≥0)上取点P(1,2), 则x=1，y=2 ， ．所以 sin α=， cosα=， tanα=. 【设计意图】直接用三角函数定义求三角函数值，加强对定义的理解. 温馨提示 由三角函数的定义可知, 角α的三角函数值只与这个角有关, 与点P在角 终边上的位置无关． 因此, 点P的坐标的选取应尽量使计算简便． 探究与发现 角α设为第四象限角，其终边上的一个点是P（x，），且,试求sinα,cosα的值. （四）巩固练习，提升素养 【巩固】已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值． 分析 已知角终边上一点P的坐标，求角的某个三角函数值时，首先要根据关系式，求出点P到坐标原点的距离，然后根据三角函数定义进行计算． 解 因为，，所以，因此 ， ， ． 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 （五）巩固练习，提升素养 1.已知角α终边上的点P的坐标如下, 分别求出角 α的正弦、余弦和正切. (1) (4,3)； (2) (2,0) ； (3) (0,1) ； (4) ( 12,5) ； (5) (1, 2). 2.已知角α终边经过点（a,-1）,且，求a的值. 3.已知角α为第二象限角, 其终边上一点P的横坐标为 8, |OP|＝10. 求角α的正弦、余弦和正切值． 4.已知角α的终边在射线y= 3x(x≥0)上, 求角的正弦、余弦和正切. 【设计意图】通过 ... ...
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