中小学教育资源及组卷应用平台 专题31.最值模型--代数法求几何最值（函数法、不等式法）模型 几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。前面的相关专题我们已经就各类几何最值模型作了细致的讲解，但是有些几何最值问题，几何变量关系不明显，需要挖掘变量之间关系，通过恰当设取恰当未知数，让学生求出变量间的函数表达式，然后再让学生求变量的最值，这类问题需要用函数或基本不等式模型解决，但是也有很多几何最值问题并没有给出求函数表达式的指令，所以很多学生想不到，对于此类问题，更多学生往往不知道应该选择何种模型，所以应当重视这类问题。 方法1：合理设取变量，构建二次函数探究最值 在实际的解题中，如果求的是一条线段的最值或是几条线段和（或差）的最值，那么首选是尝试套用常见的基本的几何模型，若未能够直接套用几何模型，那么可以先分析题目中和动点有关的数量关系，特别是一些变化过程中的不变量，通过数量关系的转化，将其化归为常见的基本的几何模型（如将军饮马模型，胡不归模型，阿氏圆模型等），从而解决问题。若不能用几何模型求解，则可以寻找其中隐藏的函数关系，然后构建函数模型解决最值问题。 很多中考中的几何最值问题需要运用代数知识求解，主要是通过建立函数模型来求解。建立函数模型求最值一般需要以下几个步骤：（1）选择自变量，确定自变量的取值范围；（2）求得函数解析式；（3）在自变量取值范围内利用配方或函数图象的最高点（或最低点），二次函数需结合顶点公式，求得函数的最大值（或最小值）. 例1．（2023上·湖北鄂州·九年级统考期中）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，则线段的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，作，可推出得到；根据等腰三角形的性质可推出；由勾股定理可知，设，则，可得，即可求解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，作，如图所示： 则有：∴ ∵，∴, ∵将绕点A逆时针旋转得到，∴ ， ∵，设，则∴ ∴∴线段的最小值是故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的最值等知识点．构造旋转型全等三角形模型是解题关键． 例2．（2023·浙江湖州·统考一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据△AQP∽△APB，确定，过点M作MG⊥AB，垂足为G，根据垂径定理计算AB=8，用AQ的代数式表示AP+QB，运用二次函数的思想确定最值，确定AQ=2，AP=4，证明AE=AP=4，连接MA，交PE于点N，根据垂径定理的推论，确定AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，用勾股定理同时表示EN求得x，从而求得EN，根据PE=2EN计算即可 【详解】如图，∵，，∴△AQP∽△APB， ∴AP：AB=AQ：AP，∴，过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB， ∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，∴MG=3，MA=5， 根据勾股定理，得AG==4，∴AB=2AG=8， ∴，∴或（舍去）， ∵AQ=AB-QB，∴AP+QB=+8-AQ== ∴AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，∴AQ=2，AP=4， 连接AE，设MA与PE的交点为N，∵△AQP∽△APB，∴∠APQ=∠ABP， ∵∠AEP=∠ABP，∴∠APQ=∠AEP，∴AP=AE=4，， 根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x， 在Rt△AEN中，，在Rt△MEN中，， ∴=,解得x=，∴，∴EN=，∴PE=2EN=，故选D． 【点睛】本题考查了圆的对称性，三角形的相 ... ...
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