专题04 基本不等式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题04 基本不等式（新高考专用） 【知识梳理】 2 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点1】利用基本不等式求最值 3 【考点2】基本不等式的综合应用 4 【考点3】基本不等式的实际应用 6 【分层检测】 8 【基础篇】 8 【能力篇】 9 【培优篇】 10 考试要求： 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在生活实际中的应用. 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 一、单选题 1．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 3．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 6．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 四、解答题 8．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【考点1】利用基本不等式求最值 一、单选题 1．（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）． A．4 B．6 C．8 D．12 2．（22-23高二下·陕西榆林·期中）已知，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 3．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）下列命题中正确的是（ ） A．的最小值是2 B．当时，的最小值是3 C．当时，的最大值是5 D．若正数满足，则的最小值为3 4．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知，若，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 三、填空题 5．（22-23高一上·广东梅州·期末）已知，，若，则的最小值为 . 6．（22-23高二下·福建三明·期中）已知实数，，则的最小值是 . 反思提升： 1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. 【考点2】基本不等式的综合应用 一、单选题 1．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ... ...