天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试卷（100分钟） 一 单选题（共36分） 1.若为实数（为虚数单位），则实数（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.1 2.下列说法错误的是（ ） A. B.是单位向量，则 C.若，则 D.两个相同的向量的模相等 3.已知是直线，是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 4.在中，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5.已知平行四边形，满足，则四边形一定为（ ）. A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 6.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7.在正方体中，棱的中点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8.在中，角的对边分别为，若，则是（ ） A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 9.底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二 填空题（共24分） 10.设是虚数单位，复数，则_____. 11.空间四边形的所有棱长为分别是棱的中点，则与所成角为_____. 12.在中，，则_____. 13.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为_____. 14.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为 点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度_____米. 15.如图，已知正方形的边长为3，且，连接交于，则_____. 三 解答题（共40分） 16.（6分）已知向量，若 （1）求与的夹角； （2）求； （3）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 17.（8分）如图，在三棱锥中，底面，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求四面体的体积. 18.（8分）已知的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，（i）求的值；（ii）求的值. 19.（8分）如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 20.（10分）在中，满足. （1）求； （2）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心. ①求的周长和面积； ②求的值. 天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试卷参考答案 一 单选题 1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 二 填空题 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三 解答题 16.（1）解：因为， 所以， 又因，所以； （2）解：； （3）解：当向量与向量互相垂直时， ， 即， 即，解得. 17.（1）证：分别是的中点， ， 平面平面， 平面. （2）证：平面平面， 且于点平面 平面，又平面. 故. （3）解：， . 18.（1）由，且是三角形的内角，则， 因为，由正弦定理得， 所以. （2）（i）因为，所以，又， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以； （ii）由（1）知，由知为锐角，得， 所以， ， 所以. 19.（1）且四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）平面平面， 连接且四边形为平行四边形， 平行四边形为正方形，， 又， 又面面， 面平面平面. （3）平面平面， 又平面平面， 因为平面， 为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接 平面平面平面，平面平面， 面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，， 因为面面，所以， 在直角中，， ， 则直线与平面所成角的正切值为. 20.（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 显然，因此， 则，得，解得， 所以. （2）①由边上的中线，得，两边平方得，则，即， 在中，由余弦定理，得，解得， 因此，所以的周长为，面积 ... ...