培优专题02 函数的性质及其应用 题型1 函数的概念与性质 题型2 指对幂函数及应用 题型3 函数的图像 题型4 函数的零点与方程 题型5 函数模型的应用 题型一：函数的概念与性质 1．（2023·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③的最大值为，最小值为，则； ④最小正周期是. 其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当时，，根据的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④根据周期函数的概念可得. 【详解】函数的定义域为，因为， 故是偶函数； 当时，，此时， 对于，令，得， 令，得， 又，故在上单调递增，在上单调递减，故②错误； 当时，， 由②可知，在上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，最小值为， 当时，，， 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，最小值为， 故，，，故③正确； 由③可知， 又， 故④正确； 故选 ：C 2．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（ ） ①；②在上是单调函数； ③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 由偶函数的性质分析求出,根据复合函数的单调性，即可判断①，结合导数判断函数单调性即可判断②，根据函数的单调性即可求解最值判断③,根据函数的最值即可判断④. 【详解】 函数是偶函数， 则有， 即， ，①正确； 则， 设，由于，易知在上单调递增，则， 所以在上为增函数， 而为增函数，则在上是单调函数，②正确； ，当且仅当时，等号成立， 则的最小值为，③正确； 为偶函数且在上为增函数，其最小值为， 由于，所以，故方程没有实数根；④错误． 故选：C． 3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】当时，，定义域为且关于原点对称， 所以， 所以为奇函数； 当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以， 所以， 所以， 由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件， 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解. 【详解】由为奇函数，得， 得的图象关于点对称，所以. 又因为是定义域为的偶函数，所以，， 所以的周期为4， 所以. 故选：A. 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【详解】由对称中心性质可知函数满足， 即， 整理可得，即， 解得. 故选：C (1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小 问题 , 常利用奇偶性及周期性进行变换 , 将所求函数值 的 自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解. (2)解决函数奇偶性与图 象的对称性的综合问题时 , 要注意把已知函数的奇偶性按定义转化 , 再判断 函数图 象 的对 称 轴 或对 称 中 心 ; 也 可 利 用 图 象 变换关 系得 出 函数图象的对称性 . 总之 , 要 充 分 利 用 已知条件进行适当转化 . 题型二：指对幂函数及应用 6．（2023·天津河北·一模）若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先化简，，，再根据即可得解. 【详解】，即， ， ， 又，所以， 所以， 故选：D 7．（2024高三·全国·专题练习）记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值是（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】将问 ... ...
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