2024年高考数学复习冲刺过关（新高考专用）培优冲刺07 数列递推公式与求和归类 讲义（原卷版+解析版）

培优冲刺07 数列递推公式与求和归类 目录 题型一：数列型恒成立求参……………………………………………………………………………………………………………………………1 题型二：是否存在型求参………………………………………………………………………………………………………………………………3 题型三：恒成立证明型…………………………………………………………………………………………………………………………………6 题型四：求和型不等式证明…………………………………………………………………………………………………………………………8 题型五：数列不定方程型………………………………………………………………………………………………………………………………11 题型六：恒成立求参：奇偶讨论型………………………………………………………………………………………………………………12 题型七：下标数列…………………………………………………………………………………………………………………………………………15 题型八：高斯取整数列型………………………………………………………………………………………………………………………………17 题型九：前n项积型不等式恒成立求参………………………………………………………………………………………………………20 题型十：先放缩再求和型证明不等式……………………………………………………………………………………………………………23 题型十一：插入数型：等差型…………………………………………………………………………………………………………………………26 题型十二：插入数列型……………………………………………………………………………………………………………………………………29 题型十三：新结构19题型压轴………………………………………………………………………………………………………………………31 题型一：数列型恒成立求参 分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 数列恒成立求参数关键“坑”： 数列是以正整数为“变量”的函数，所以求最小值时要注意正整数的取值范围 1.（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）若数列满足，，m为常数. (1)求证：是等差数列； (2)若对任意，都有，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）等式两边同除以，用等差数列的定义证明； （2）将条件转化为对恒成立，求的最大值即可. 【详解】（1）证明：因为， 等式两边同除以，得，即， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，因此. 由对恒成立，得对均成立. 因为，不等式两边同除以，得， 即对恒成立， 当时，取最大值，所以， 所以实数m的取值范围为. 2..（河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高三四校联考数学试题）已知等比数列满足，，且为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和等差中项求解即可； （2）由（1）得，利用错位相减法得，则原不等式转化为对任意正整数恒成立，求的最小值即可. 【详解】（1）因为数列是等比数列，且满足， 所以①， ②， 又因为为等差数列，所以，即③， 联立①②③解得，所以. （2）由（1）得， 所以④， ⑤， ⑤④得 ， 由题意即对任意正整数恒成立， ... ...