《空间向量与立体几何》章检测试卷（附答案）
组卷网，总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1. 如图,在平行六面体 中, 为 与 的交点. 若 , ,则下列向量中与 相等的向量是 ( ) A. B. C. D. (第 1 题) 2. 平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,若 ,则 等于 A. 2 B. -4 C. 4 D. -2 3. 若 ,则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知两个平面的法向量分别为 ,则这两个平面所成的二面角的大小为 ( ) A. B. C. 或 D. 5. 直线 的方向向量 ,平面 的法向量 ,则有 ( ) A. B. C. 与 斜交 D. 或 6. 已知平面 内有一点 ,平面 的一个法向量为 ,则下列点 中, 1. 在平面 内的是 ( ) A. B. C. D. 7. 若 两点的坐标分别是 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 8. 已知正四棱雉 的侧棱长与底面边长都相等, 是 的中点,则 所成的角 的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9. 在空间四边形 中,若 分别为 边的中点,则下列各式中成立的是 ( ) 10.下列命题中是真命题的有 ( ) A. 空间中的基只有有限组 B. 已知向量 ,则 与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 设 是空间四点,若 不能构成空间的一个基底,那么 , 共面 D. 已知向量组 是空间的一个基底,若 ,则 也是空间的一个基底 E. 若 可以作为空间的一个基底, 与 共线, ,则 也可作为空间的基底 11. 如下页图,在棱长为 1 的正方体 中, 分别为棱 上的点, 则下列判断中正确的有 ( ) A. 平面 B. 在侧面 上的正投影是面积为定值的三角形 (第 11题) C. 在平面 内总存在与平面 平行的直线 D. 平面 与平面 所成的二面角 (锐角) 的大小与点 的位置有关, 而与点 的位置无关 E. 当 分别是棱 的中点时, 到平面 的距离为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12. 若 与 与 的夹角均为 ,且 ,则 13. 如图,在棱长为 1 的正方体 中, 分别是线段 上的点,满足 平面 ,则 与平面 所成角的范 围是_____. (第 13 题) 14. 在直三棱柱 中,底面 为直角三角形, , . 已知 与 分别为 和 的中点, 与 分别为线 段 和 上的动点 (不包括端点). 若 ,则线段 的长度的最小值 为_____. (第 14 题) 四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （15分）已知空间三点 ,设 . (1) 设 ,求 ; (2) 求 与 的夹角的余弦值; (3) 若向量 与 互相垂直,求实数 的值. 16. （14分）已知长方体 中, 是 的中点, 是 上 靠近 的四等分点, 是四边形 的中心. (1) 求证: ; (2) 求直线 与直线 之间的距离. 17. （14分）如图 (a) 是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形,其中 . 将其沿 折起使得 与 重合,连接 ,如图 (b). (第 17 题) (1) 求证: 图 (b) 中的 四点共面,且平面 平面 ; (2) 求图 (b) 中的平面 与平面 之间的距离. 18. （16分）如图,已知平面 平面 为等腰直角三角形, ,四边形 为直角梯形, =2, PQ//DC, PQ=DC=1. (1) 求二面角 的余弦值; (2) 线段 上是否存在点 ,使得 平面 若存在,求 的值; 若不存在,请说明理由. (第 18 题) 19. （18分）如图,在长方体 中, ,点 在棱 上移动,点 是棱 的中点. (第 19 题) (1) 求证: ; (2) 当 为 的中点时,求直线 到平面 的距离; (3) 当 等于何值时,二面角 的大小为 参考答案 一、选择题 1. A 2. C 3. A 4. C 5. B 6. A 7. B 8. C 9. BCD 10. BCDE 11. BCE 二、填空题 12. 14. 三、解答题 15. (1) 因为 . 所以设 , 所 ... ...
